(7 pontos) Considere o campo
. Use o Teorema de Stokes para calcular o trabalho realizado por
ao deslocar uma partícula sobre a borda da superfície
do paraboloide hiperbólico
, localizado dentro do cilindro
4, completando uma volta inteira a partir do ponto (
) em sentido anti-horário. Justifique adequadamente o seu cálculo.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Campo vetorial fornecido:
. - Superfície
: porção do paraboloide hiperbólico localizada dentro do cilindro . - Borda
(curva ): interseção entre o paraboloide e o cilindro, isto é a curva dada por O ponto inicial indicado é (ou seja ), e a curva é percorrida uma volta inteira em sentido anti-horário. - Pedido: calcular o trabalho (circulação)
, usando o Teorema de Stokes e justificando.
Passo 2
Apresento o enunciado do Teorema de Stokes e explico como usá‑lo passo a passo.
- Teorema de Stokes (forma usada aqui): para uma superfície orientada
com bordo orientado consistentemente, onde é o rotor (curl) de e é o vetor área orientado da superfície (o produto do vetor normal unitário pela área elementar). - O que isso significa na prática:
- Calcular
. - Escolher a orientação de
compatível com a orientação anti-horária de (regra da mão direita). - Avaliar a integral de superfície do produto escalar
sobre .
- Calcular
Vou aplicar exatamente esses passos.
Passo 3
Calculo do rotor
componente a componente. Para
com
, o rotor é
Calculo cada derivada:
-
. -
. -
. -
. -
. -
.
Substituindo:
Observação didática: o rotor resultou numa constante muito simples
, o que simplifica muito a integral de superfície.
Passo 4
Escolha da orientação de
compatível com o sentido anti‑horário da curva
.
- A curva
é a circunferência projetada no plano com raio . O enunciado diz que a volta é feita no sentido anti‑horário visto a partir do ponto — isto é o sentido anti‑horário quando visto de cima (direção positiva de ). Pela regra da mão direita, o sentido anti‑horário visto a partir do lado de corresponde a escolher a normal com componente positiva em (normal apontando “para cima”). - Para uma superfície dada como gráfico
, a escolha do vetor área orientado com apontando para cima é dada pelo vetor diferencial onde , e é a área no plano . Isso fornece a orientação “para cima” (com a terceira componente positiva). Esta fórmula é muito útil porque evita parametrizar toda a superfície explicitamente.
Passo 5
Calcular
para
e formar o integrando
.
- Derivadas parciais:
- Assim
- Como
, o produto escalar fica - Portanto, pela Teorema de Stokes:
onde é o disco no plano definido por (peguei essa descrição do domínio do enunciado: "dentro do cilindro ").
Passo 6
Avaliação da integral de superfície
.
- Observação de simetria (maneira rápida e prática): o domínio
é o disco centrado na origem e a função integranda é ímpar em (isto é, ). Integrando uma função ímpar em sobre um domínio simétrico em relação ao eixo (como o disco) dá zero. Logo - Se preferir ver com coordenadas polares (explicando passo a passo): usando
com , O interno é um número, e . Assim o produto é zero também. - Em ambos os argumentos o resultado é
.
Passo 7
Conclusão final: pela aplicação do Teorema de Stokes, a circulação pedida é igual à integral de superfície que calculamos e que deu zero. Portanto o trabalho realizado por
ao deslocar a partícula ao longo da borda
no sentido anti‑horário é zero.