(7 pontos) Considere o campo \mathbf{F}=\left\langle x^{2}+y, y^{2}+x, y+z \mathrm{e}^{z}\right\rangle. Use o Teorema de Stokes para calcular o trabalho realizado por \mathbf{F} ao deslocar uma partícula sobre a borda da superfície S do paraboloide hiperbólico z=x^{2}-y^{2}, localizado dentro do cilindro x^{2}+y^{2}= 4, completando uma volta inteira a partir do ponto ( 2,0,4 ) em sentido anti-horário. Justifique adequadamente o seu cálculo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Campo vetorial fornecido: \mathbf{F}=\langle x^{2}+y,\; y^{2}+x,\; y+z\mathrm{e}^{z}\rangle.
  • Superfície S: porção do paraboloide hiperbólico \;z=x^{2}-y^{2}\; localizada dentro do cilindro \;x^{2}+y^{2}=4.
  • Borda \partial S (curva C): interseção entre o paraboloide e o cilindro, isto é a curva dada por C:\quad x^{2}+y^{2}=4,\qquad z=x^{2}-y^{2}.O ponto inicial indicado é (2,0,4) (ou seja x=2,y=0,z=4), e a curva é percorrida uma volta inteira em sentido anti-horário.
  • Pedido: calcular o trabalho (circulação) \displaystyle \oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}, usando o Teorema de Stokes e justificando.

Passo 2

Apresento o enunciado do Teorema de Stokes e explico como usá‑lo passo a passo.
  • Teorema de Stokes (forma usada aqui): para uma superfície orientada S com bordo \partial S=C orientado consistentemente, \oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS,onde \nabla\times\mathbf{F} é o rotor (curl) de \mathbf{F} e \mathbf{n}\,dS é o vetor área orientado da superfície (o produto do vetor normal unitário pela área elementar).
  • O que isso significa na prática:
    1. Calcular \nabla\times\mathbf{F}.
    2. Escolher a orientação de \mathbf{n} compatível com a orientação anti-horária de C (regra da mão direita).
    3. Avaliar a integral de superfície do produto escalar (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n} sobre S.
Vou aplicar exatamente esses passos.

Passo 3

Calculo do rotor \nabla\times\mathbf{F} componente a componente. Para \mathbf{F}=\langle F_{1},F_{2},F_{3}\rangle com F_{1}=x^{2}+y,\;F_{2}=y^{2}+x,\;F_{3}=y+z\mathrm{e}^{z}, o rotor é
\nabla\times\mathbf{F}=\left\langle \frac{\partial F_{3}}{\partial y}-\frac{\partial F_{2}}{\partial z},\; \frac{\partial F_{1}}{\partial z}-\frac{\partial F_{3}}{\partial x},\; \frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}\right\rangle.
Calculo cada derivada:
  • \dfrac{\partial F_{3}}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(y+z\mathrm{e}^{z}\bigr)=1.
  • \dfrac{\partial F_{2}}{\partial z}=\dfrac{\partial}{\partial z}\bigl(y^{2}+x\bigr)=0.
  • \dfrac{\partial F_{1}}{\partial z}=\dfrac{\partial}{\partial z}\bigl(x^{2}+y\bigr)=0.
  • \dfrac{\partial F_{3}}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(y+z\mathrm{e}^{z}\bigr)=0.
  • \dfrac{\partial F_{2}}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(y^{2}+x\bigr)=1.
  • \dfrac{\partial F_{1}}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}+y\bigr)=1.
Substituindo:
\nabla\times\mathbf{F}=\langle 1-0,\;0-0,\;1-1\rangle=\langle 1,\;0,\;0\rangle.
Observação didática: o rotor resultou numa constante muito simples \langle 1,0,0\rangle, o que simplifica muito a integral de superfície.

Passo 4

Escolha da orientação de \mathbf{n} compatível com o sentido anti‑horário da curva C.
  • A curva C é a circunferência projetada no plano xy com raio 2. O enunciado diz que a volta é feita no sentido anti‑horário visto a partir do ponto (2,0,4) — isto é o sentido anti‑horário quando visto de cima (direção positiva de z). Pela regra da mão direita, o sentido anti‑horário visto a partir do lado de +\mathbf{k} corresponde a escolher a normal com componente positiva em z (normal apontando “para cima”).
  • Para uma superfície dada como gráfico z=f(x,y), a escolha do vetor área orientado com \mathbf{n} apontando para cima é dada pelo vetor diferencial \mathbf{n}\,dS = \bigl(-f_{x},\,-f_{y},\,1\bigr)\,dA,onde f_{x}=\dfrac{\partial f}{\partial x}, f_{y}=\dfrac{\partial f}{\partial y} e dA é a área no plano xy. Isso fornece a orientação “para cima” (com a terceira componente positiva). Esta fórmula é muito útil porque evita parametrizar toda a superfície explicitamente.

Passo 5

Calcular \mathbf{n}\,dS para z=f(x,y)=x^{2}-y^{2} e formar o integrando (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS.
  • Derivadas parciais: f_{x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}-y^{2})=2x,\qquad f_{y}=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}-y^{2})=-2y.
  • Assim \mathbf{n}\,dS=\bigl(-2x,\;2y,\;1\bigr)\,dA.
  • Como \nabla\times\mathbf{F}=\langle 1,0,0\rangle, o produto escalar fica (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS=\langle 1,0,0\rangle\cdot\bigl(-2x,2y,1\bigr)\,dA=-2x\,dA.
  • Portanto, pela Teorema de Stokes: \oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS =\iint_{D}(-2x)\,dA,onde D é o disco no plano xy definido por \;x^{2}+y^{2}\le 4 (peguei essa descrição do domínio do enunciado: "dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=4").

Passo 6

Avaliação da integral de superfície \iint_{D}(-2x)\,dA.
  • Observação de simetria (maneira rápida e prática): o domínio D é o disco centrado na origem e a função integranda -2x é ímpar em x (isto é, -2(-x) = 2x = -(-2x)). Integrando uma função ímpar em x sobre um domínio simétrico em relação ao eixo y (como o disco) dá zero. Logo \iint_{D}(-2x)\,dA=0.
  • Se preferir ver com coordenadas polares (explicando passo a passo): usando x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta,\;dA=r\,dr\,d\theta com 0\le r\le 2,\;0\le\theta\le 2\pi, \iint_{D}(-2x)\,dA=-2\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\bigl(r\cos\theta\bigr)\,r\,dr\,d\theta =-2\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\left(\int_{0}^{2}r^{2}\,dr\right)d\theta.O interno \int_{0}^{2}r^{2}\,dr=\tfrac{8}{3} é um número, e \int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta=0. Assim o produto é zero também.
  • Em ambos os argumentos o resultado é 0.

Passo 7

Conclusão final: pela aplicação do Teorema de Stokes, a circulação pedida é igual à integral de superfície que calculamos e que deu zero. Portanto o trabalho realizado por \mathbf{F} ao deslocar a partícula ao longo da borda C no sentido anti‑horário é zero.

Resposta

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