Calcule as seguintes integrais indefinidas: integral(1+1u)^-3(1u^2) d u

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral integrall(1+tfrac1ur)^-3,tfrac1u^2,du. Isso envolve integração por substituição (mudar de variável) para simplificar a composição de funções. Percebemos que a parte 1+tfrac1u aparece elevada a um expoente e multiplicada por tfrac1u^2, o que sugere usar substituição para a função interna 1+tfrac1u.

Passo 2

Definimos a substituição
t = 1 + 1u,
calculamos seu diferencial
dt = -1u^2,du Longrightarrow 1u^2,du = -,dt

Passo 3

Substituindo na integral original obtemos
integrall(1+tfrac1ur)^-3,1u^2,du = integral t^-3(-dt) = -integral t^-3,dt

Passo 4

Agora integramos em t:
-integral t^-3,dt = -t^-2-2 + C = 12,t^2 + C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável u usando t = 1+tfrac1u.

Resposta

12,l(1+1ur)^2 + C

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