Calcule as seguintes integrais indefinidas: integral 1x^4-2 x^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral integral 1x^4 - 2x^3 , dx. O conteúdo aqui envolve integração de frações racionais, e para resolver vamos precisar fatorar o denominador e usar frações parciais. Basicamente, vamos quebrar a fração complicada em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^4 - 2x^3. Percebe que podemos fatorar um x^3 comum:
x^4 - 2x^3 = x^3(x - 2)
Agora, nossa integral fica:
integral 1x^3(x - 2) , dx

Passo 3

Agora, vamos usar o método de frações parciais para dividir essa fração complicada em partes mais simples. Queremos expressar 1x^3(x - 2) como a soma de frações mais simples:
1x^3(x - 2) = Ax + Bx^2 + Cx^3 + Dx - 2
Aqui, A, B, C e D são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar os valores de A, B, C e D, vamos multiplicar ambos os lados da equação por x^3(x - 2):
1 = A x^2(x - 2) + B x(x - 2) + C(x - 2) + D x^3
Agora, vamos escolher valores estratégicos para x que simplificam a equação:
  • Quando x = 0:
    1 = A cdot 0 + B cdot 0 + C(-2) + D cdot 0 Rightarrow 1 = -2C Rightarrow C = -12
  • Quando x = 2:
    1 = A cdot 4 cdot 0 + B cdot 2 cdot 0 + C cdot 0 + D cdot 8 Rightarrow 1 = 8D Rightarrow D = 18
Agora, expandindo a equação geral para encontrar A e B:
1 = A x^3 - 2A x^2 + B x^2 - 2B x + C x - 2C + D x^3
Organizando os termos:
( A + D ) x^3 + ( -2A + B ) x^2 + ( -2B + C ) x + ( -2C ) = 1
Como os termos do lado esquerdo devem igualar os do lado direito (que é 1), temos:
A + D = 0 -2A + B = 0 -2B + C = 0 -2C = 1
Já sabemos que C = -12 e D = 18. Substituindo:
  • De A + D = 0:
    A + 18 = 0 Rightarrow A = -18
  • De -2A + B = 0:
    -2(-18) + B = 0 Rightarrow 14 + B = 0 Rightarrow B = -14
Então, temos:
A = -18, B = -14, C = -12, D = 18

Passo 5

Agora que temos os valores de A, B, C e D, podemos escrever a decomposição em frações parciais:
1x^3(x - 2) = -18x - 14x^2 - 12x^3 + 18(x - 2)
Vamos integrar cada termo separadamente:
integral ( -18x - 14x^2 - 12x^3 + 18(x - 2) ) , dx
Integrando termo a termo:
  1. integral -18x , dx = -18 ln|x|
  2. integral -14x^2 , dx = -14 cdot ( -1x ) = 14x
  3. integral -12x^3 , dx = -12 cdot ( -12x^2 ) = 14x^2
  4. integral 18(x - 2) , dx = 18 ln|x - 2|

Resposta

integral 1x^4 - 2x^3 , dx = -18 ln|x| + 14x + 14x^2 + 18 ln|x - 2| + C
Onde C é a constante de integração.

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