Encontre uma primitiva de: f(x)=1raizx^2+2 x+1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma primitiva de f(x)=1/√(x²+2x+1). O conteúdo principal aqui é integração de funções que envolvem raízes quadradas e, para resolver, vamos precisar completar o quadrado no denominador e lidar com o valor absoluto.

Passo 2

Note que x²+2x+1 pode ser reescrito como (x+1)². Então temos
f(x)=1raizx^2+2x+1=1raiz(x+1)^2=1|x+1|,
e isso transforma o problema em integrar 1/|x+1|.

Passo 3

A teoria que precisamos lembrar é que
integral 1|u|,du=sgn(u),ln|u|+C,
onde sgn(u) é a função sinal, que vale +1 se u>0 e –1 se u<0.

Passo 4

Agora, fazendo a substituição u=x+1 (logo du=dx), temos
integral 1|x+1|,dx=sgn(x+1),ln|x+1|+C

Resposta

sgn(x+1),ln|x+1|+C

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