Calcule as seguintes integrais indefinidas: integral sin ^3 xcos ^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida integral sin^3 xcos^2 x dx. Essa questão está relacionada ao cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição e manipulação de identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão sin^3 xcos^2 x. Podemos escrever sin^3 x como sin^2 x cdot sin x. Sabendo que sin^2 x = 1 - cos^2 x, temos:
sin^3 xcos^2 x = (1 - cos^2 x) sin xcos^2 x

Passo 3

Agora, distribuímos o sin x no numerador:
sin xcos^2 x - sin x cdot cos^2 xcos^2 x = sin xcos^2 x - sin x
Então, a integral fica:
integral sin xcos^2 x dx - integral sin x dx

Passo 4

Vamos resolver a primeira integral integral sin xcos^2 x dx usando substituição. Seja u = cos x, então du = -sin x dx, ou seja, -du = sin x dx. Substituindo na integral:
integral sin xcos^2 x dx = integral -duu^2 = -integral u^-2 du

Passo 5

Integrando u^-2:
- integral u^-2 du = - ( -u^-1 ) + C = 1u + C
Voltando para u = cos x:
1cos x + C = sec x + C

Passo 6

A segunda integral é integral sin x dx, que é básica:
integral sin x dx = -cos x + C

Passo 7

Juntando as duas integrais:
sec x - cos x + C

Resposta

A integral integral sin^3 xcos^2 x dx é igual a sec x - cos x + C.

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