Calcule as seguintes integrais definidas usando somas de Riemann: integral0^1 3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral0^13x,dx usando somas de Riemann. O conteúdo envolve a definição de integral definida como limite de somas de Riemann, e vamos aplicar essa definição para chegar ao valor exato.

Passo 2

Primeiro, dividimos o intervalo [0,1] em n subintervalos iguais de comprimento De. Temos
De
Definimos os pontos de amostragem à direita como xi = iDe.

Passo 3

Montamos a soma de Riemann para f(x)=3x usando os pontos xi:
sumi=1^n f(xi),De

Passo 4

Usamos a fórmula da soma dos primeiros n inteiros:
sumi=1^n i = n(n+1)2
Então a soma vira
3n^2cdotn(n+1)2 = 3(n+1)2n
Tomamos o limite quando ntoinfty:
limntoinfty3(n+1)2n
e usamos que limntoinftyn+1n=1.

Resposta

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