Calcule as seguintes integrais indefinidas:
r) integral x e^-x^2 d x
s) integral x^21+x^6 d x

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos calcular as integrais indefinidas r) integral x e^-x^2,dx e s) integral x^21+x^6,dx. O conteúdo principal é o método de substituição (u-substitution) para simplificar integrais de funções compostas.

Passo 2

Para r), observe que o expoente -x^2 tem derivada proporcional a x. Fazendo a substituição u = -x^2 temos que
du = -2x,dx
Logo x,dx = -tfrac12,du. Assim
integral x e^-x^2,dx = integral e^u l(-tfrac12,dur) = -tfrac12 integral e^u,du = -tfrac12 e^u + C = -tfrac12 e^-x^2 + C

Passo 3

Para s), note que x^6 é (x^3)^2 e a derivada de x^3 traz x^2. Então faça t = x^3, tendo
dt = 3x^2,dx
Logo x^2,dx = tfrac13,dt. A integral fica
integral x^21+x^6,dx = integral 11+t^2;dt3 = tfrac13 integral dt1+t^2 = tfrac13arctan(t) + C = tfrac13arctan(x^3) + C

Resposta

Para r) -tfrac12 e^-x^2 + C e para s) tfrac13arctan(x^3) + C.

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