Para a função:
g(x)=x tg(x), -pi / 2.
Encontre as assíntotas vertical e horizontal.

Passo 1

Temos a função g(x)=xtan(x) definida em (-pi/2,,pi/2). O conteúdo aqui é estudo de limites e assíntotas (verticais e horizontais). Vamos precisar usar definições de limite que geram divergência (para verticais) e limite em infinito (para horizontais).

Passo 2

Primeiro, para achar as assíntotas verticais, examinamos os limites laterais nos extremos do domínio, pois tan(x) diverge quando xtopmpi/2. Calculamos:
limxtopi2^- xtan(x) = pi2cdot(+infty)=+infty,
limxto-pi2^+ xtan(x) = l(-tfracpi2r)cdot(-infty)=+infty
Como ambos os limites laterais tendem a +infty, temos duas assíntotas verticais: x=-tfracpi2 e x=+tfracpi2.

Passo 3

Agora, para assíntotas horizontais, investigaríamos limxtopminftyg(x). Mas o domínio é limitado a (-pi/2,,pi/2), então não há como deixar x crescer até infinito dentro do domínio. Logo, não existem assíntotas horizontais para g(x).

Resposta

Assíntotas verticais: x=-tfracpi2 e x=+tfracpi2. Não há assíntotas horizontais.

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