Encontre os números críticos da função.
f(theta)=4 theta-tg(theta)

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: a função é f(θ) = 4θ - tan(θ). O conteúdo envolve derivadas e números críticos, que são os pontos do domínio onde f' é zero ou indefinida. Para resolver, vamos precisar da derivada de tan(θ) e da definição de número crítico.

Passo 2

Determinar o domínio de f. Como tan(θ) exige cos(θ) neq 0, o domínio é todos θ in ℝ tais que θ neq tfracpi2 + kpi, com k in Z.

Passo 3

Calcular f'(θ). Usando ddθ(4θ)=4 e ddθ(tan(θ))=sec^2(θ), obtemos
f'(θ) = 4 - sec^2(θ)

Passo 4

Achar onde f'(θ)=0. Resolvendo
4 - sec^2(θ) = 0 Longrightarrow sec^2(θ) = 4 Longrightarrow cos^2(θ) = tfrac14

Passo 5

Resolver a equação trigonométrica. De cos^2(θ)=tfrac14 vem cos(θ)=pmtfrac12. As soluções gerais são:
θ = tfracpi3 + 2pi k ou θ = -tfracpi3 + 2pi k
θ = tfrac2pi3 + 2pi k ou θ = -tfrac2pi3 + 2pi k
Reescrevendo de forma condensada:
θ = tfracpi3 + kpi ou θ = tfrac2pi3 + kpi
para k in Z.

Passo 6

Verificar onde f'(θ) é indefinida. Como sec^2(θ) diverge quando cos(θ)=0, isso ocorreria em θ = tfracpi2 + kpi, mas esses pontos não estão no domínio de f e, portanto, não são números críticos.

Resposta

θ = tfracpi3 + kpi ou θ = tfrac2pi3 + kpi, para k in Z.

Exercícios relacionados