Calcule as seguintes integrais indefinidas:
integral d x4-5 sen(x)

Passo 1

Vamos calcular a integral integral dx4 - 5sin x. O conteúdo aqui é o uso da substituição de Weierstrass (tangente do ângulo metade) para transformar a integral de função trigonométrica em integral de função racional.

Passo 2

Fazendo a substituição t = tanl(tfrac x2r), temos as fórmulas clássicas:
sen x = 2t1 + t^2,
dx = 2,dt1 + t^2

Passo 3

Substituindo em integral dx4 - 5sin x obtemos
integral dx4 - 5sin x = integral 2,dt/(1+t^2)4 - 5cdotl(2t/(1+t^2)r) = integral 2,dt4(1+t^2) - 10t = integral dt2t^2 -5t +2

Passo 4

Agora fazemos a decomposição em frações parciais:
12t^2 -5t +2 = A2t-1 + Bt-2
Resolvendo para A e B vem A = -tfrac23 e B = tfrac13. Logo,
integral dt2t^2 -5t +2 = -23integral dt2t-1 + 13integral dtt-2 = -13ln|2t - 1| + 13ln|t - 2| + C

Passo 5

Por fim, voltamos a x com t = tanl(tfrac x2r). Assim a primitiva fica
13lnl|tan(tfrac x2) - 22tan(tfrac x2) - 1r| + C

Resposta

integral dx4 - 5sin x = 13lnl|tan(tfrac x2) - 22tan(tfrac x2) - 1r| + C.

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