Calcule as seguintes integrais indefinidas:
integral t g^6(x) sec ^5(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida

O conteúdo aqui é manipular potências de tangente e secante e usar a identidade . Vamos precisar também do método de redução para integral tg^6(x),sec^5(x),dx.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos tudo em função de sec x:
Agora expandimos
tg^6 x;sec^5 x = (sec^2 x-1)^3;sec^5 x
pela fórmula do binômio. Logo
Então a integral original se torna

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula de redução para Sn=integralsec^n x,dx, que diz:
Sn = integralsec^n x,dx = sec^n-2x,tan xn-1 + n-2n-1,Sn-2
Precisamos de S5,,S7,,S9,,S11.
  1. S5 = integralsec^5 x,dx = sec^3 xtan x4 + 34S3
  2. S3=integralsec^3 x,dx=sec xtan x2+12ln|sec x+tan x|
    Substituindo, obtemos uma expressão para S5.

Passo 4

Em seguida:
$$
S_7 = \frac{\sec^5 x\tan x}{6} + \frac{5}{6}S_5,$$
$$
S_9 = \frac{\sec^7 x\tan x}{8} + \frac{7}{8}S_7,$$
S7 = sec^5 xtan x6 + 56S5,
Cada passo substitui o S9 = sec^7 xtan x8 + 78S7, já calculado. É um pouco laborioso, mas segue diretamente da fórmula de redução.

Passo 5

Ao final de todos os subsitutos, agrupando termos semelhantes, chegamos depois de uma longa algebra a:

Passo 6

Essa é a forma fechada da antiderivada, com constante arbitrária C.

Resposta

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