Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
O conteúdo aqui é manipular potências de tangente e secante e usar a identidade . Vamos precisar também do método de redução para
Passo 2
Primeiro, reescrevemos tudo em função de
:
Agora expandimos
pela fórmula do binômio. Logo
Então a integral original se torna
Passo 3
Agora aplicamos a fórmula de redução para
, que diz:
Precisamos de
.
-
-
Substituindo, obtemos uma expressão para.
Passo 4
Em seguida:
$$
S_7 = \frac{\sec^5 x\tan x}{6} + \frac{5}{6}S_5,$$
$$
S_9 = \frac{\sec^7 x\tan x}{8} + \frac{7}{8}S_7,$$
Cada passo substitui o
já calculado. É um pouco laborioso, mas segue diretamente da fórmula de redução.
Passo 5
Ao final de todos os subsitutos, agrupando termos semelhantes, chegamos depois de uma longa algebra a:
Passo 6
Essa é a forma fechada da antiderivada, com constante arbitrária
.