Introduzimos em
, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2, o produto interno:
Assinale a projeção ortogonal de
na reta gerada por
.
Atividade adicional (opcional): a pós resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de
e
, para alguns valores de
. O observe que a melhor aproximação de
no intervalo
por um múltiplo de
é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em
a melhor aproximação será outra).
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
Atividade adicional (opcional): a pós resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está no espaço vetorial
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau até 2. Temos um produto interno definido por:
O que precisamos encontrar é a projeção ortogonal do polinômio
na reta gerada por
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear e cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é projeção ortogonal. Em termos simples, a projeção de um vetor (ou polinômio, no nosso caso) em uma reta é a “sombra” desse vetor na direção da reta. Matematicamente, a projeção de
em
é dada por:
Então, nosso primeiro passo é calcular os produtos internos
e
.
Passo 3
Vamos calcular
:
Primeiro, expandimos a multiplicação dos polinômios:
Agora, integramos termo a termo de 0 a 1:
Somando tudo:
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Primeiro, expandimos o quadrado:
Agora, integramos termo a termo de 0 a 1:
Somando tudo:
Passo 5
Com os valores de
e
, podemos calcular a projeção:
Substituindo
:
Podemos simplificar os coeficientes dividindo numerador e denominador por 2:
Entretanto, nenhuma das opções está exatamente nesse formato, mas podemos reescrever:
Comparando com as opções, a que mais se assemelha é a letra (E):
No entanto, percebo que houve um erro nos cálculos. Vamos revisar rapidamente.
Passo 6
Houve um erro no cálculo de
. Vamos recalcular:
Expandindo:
Integrando:
Somando:
O cálculo estava correto. A discrepância está nas opções fornecidas. Talvez houve um erro na simplificação.
Passo 7
Vamos verificar as opções e ver qual se aproxima do nosso resultado:
Comparando com as opções, a letra (E) é
, que não coincide. Porém, a letra (F) é
, também não.
Parece que nenhuma das opções corresponde exatamente ao nosso resultado. Portanto, a resposta correta é:
Resposta
(I) Não sei