Introduzimos em P2, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2, o produto interno:
lang<= p, qrang<==integral0^1 p(x) q(x) d x
Assinale a projeção ortogonal de p(x)=x^2-x+3 na reta gerada por q(x)=2 x-3.
Atividade adicional (opcional): a pós resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de p(x) e k q(x), para alguns valores de k. O observe que a melhor aproximação de x^2-x+3 no intervalo [0,1] por um múltiplo de 2 x-3 é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em [0,2] a melhor aproximação será outra).
(A) -18 x^213+18 x13-5413
(B) -16 x^213+16 x13-4813
© 5413-36 x13
(D) 5113-34 x13
(E) 4513-30 x13
(F) 4813-32 x13
(G) -15 x^213+15 x13-4513
(H) -17 x^213+17 x13-5113
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está no espaço vetorial P2, que é o conjunto de todos os polinômios de grau até 2. Temos um produto interno definido por:
lang<= p, q rang<= = integral0^1 p(x) q(x) , dx
O que precisamos encontrar é a projeção ortogonal do polinômio p(x) = x^2 - x + 3 na reta gerada por q(x) = 2x - 3. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear e cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é projeção ortogonal. Em termos simples, a projeção de um vetor (ou polinômio, no nosso caso) em uma reta é a “sombra” desse vetor na direção da reta. Matematicamente, a projeção de p em q é dada por:
projq(p) = lang<= p, q rang<=lang<= q, q rang<= q
Então, nosso primeiro passo é calcular os produtos internos lang<= p, q rang<= e lang<= q, q rang<=.

Passo 3

Vamos calcular lang<= p, q rang<=:
lang<= p, q rang<= = integral0^1 (x^2 - x + 3)(2x - 3) , dx
Primeiro, expandimos a multiplicação dos polinômios:
(x^2 - x + 3)(2x - 3) = 2x^3 - 3x^2 - 2x^2 + 3x + 6x - 9 = 2x^3 - 5x^2 + 9x - 9
Agora, integramos termo a termo de 0 a 1:
integral0^1 2x^3 , dx = 24 = 12
integral0^1 -5x^2 , dx = -5 cdot 13 = -53
integral0^1 9x , dx = 9 cdot 12 = 92
integral0^1 -9 , dx = -9 cdot 1 = -9
Somando tudo:
12 - 53 + 92 - 9 = (12 + 92) - 53 - 9 = 5 - 53 - 9 = -143

Passo 4

Agora, vamos calcular lang<= q, q rang<=:
lang<= q, q rang<= = integral0^1 (2x - 3)^2 , dx
Primeiro, expandimos o quadrado:
(2x - 3)^2 = 4x^2 - 12x + 9
Agora, integramos termo a termo de 0 a 1:
integral0^1 4x^2 , dx = 4 cdot 13 = 43
integral0^1 -12x , dx = -12 cdot 12 = -6
integral0^1 9 , dx = 9 cdot 1 = 9
Somando tudo:
43 - 6 + 9 = 43 + 3 = 133

Passo 5

Com os valores de lang<= p, q rang<= = -143 e lang<= q, q rang<= = 133, podemos calcular a projeção:
projq(p) = -143133 q = -1413 q
Substituindo q(x) = 2x - 3:
projq(p) = -1413 (2x - 3) = -28x + 4213 = -2813x + 4213
Podemos simplificar os coeficientes dividindo numerador e denominador por 2:
-2813x + 4213 = -146.5x + 216.5 = -28x13 + 4213
Entretanto, nenhuma das opções está exatamente nesse formato, mas podemos reescrever:
-2813x + 4213 = 4213 - 2813x
Comparando com as opções, a que mais se assemelha é a letra (E):
4513 - 30x13
No entanto, percebo que houve um erro nos cálculos. Vamos revisar rapidamente.

Passo 6

Houve um erro no cálculo de lang<= p, q rang<=. Vamos recalcular:
lang<= p, q rang<= = integral0^1 (x^2 - x + 3)(2x - 3) , dx
Expandindo:
2x^3 - 3x^2 - 2x^2 + 3x + 6x - 9 = 2x^3 - 5x^2 + 9x - 9
Integrando:
integral0^1 2x^3 , dx = 24 = 12
integral0^1 -5x^2 , dx = -5 cdot 13 = -53
integral0^1 9x , dx = 92
integral0^1 -9 , dx = -9
Somando:
12 - 53 + 92 - 9 = (12 + 92) - 53 - 9 = 5 - 53 - 9 = -143
O cálculo estava correto. A discrepância está nas opções fornecidas. Talvez houve um erro na simplificação.

Passo 7

Vamos verificar as opções e ver qual se aproxima do nosso resultado:
projq(p) = -1413 q = -1413 (2x - 3) = -28x13 + 4213
Comparando com as opções, a letra (E) é 4513 - 30x13, que não coincide. Porém, a letra (F) é 4813 - 32x13, também não.
Parece que nenhuma das opções corresponde exatamente ao nosso resultado. Portanto, a resposta correta é:

Resposta

(I) Não sei

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