Calcule as seguintes integrais indefinidas:
j) integral sec ^2(2 x) tg(2 x) d x
k) integral (ln (x))^2x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular duas integrais indefinidas envolvendo substituições simples de variáveis, um caso com funções trigonométricas e outro com logaritmo natural. Vamos usar o método de substituição (u-sub) em cada uma delas.

Passo 2

Para a integral de índice j)
Temos
integral sec^2(2x)tan(2x),dx
Podemos identificar a substituição
u = tan(2x)Rightarrow du = 2sec^2(2x),dxRightarrow sec^2(2x),dx = du2
Substituindo na integral:
integral sec^2(2x)tan(2x),dx = integral ucdot du2 = 12integral u,du = 12cdot u^22 + C = u^24 + C
Voltando à variável original:
u^24 + C = tan^2(2x)4 + C

Passo 3

Para a integral de índice k)
Temos
integral (ln(x))^2x,dx
Fazemos a substituição natural:
u = ln(x)Rightarrow du = 1x,dxRightarrow dxx = du
Então
integral (ln(x))^2x,dx = integral u^2,du = u^33 + C
Revertendo a substituição:
u^33 + C = (ln(x))^33 + C

Resposta

j) tan^2(2x)4 + C
k) (ln(x))^33 + C

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