Utilize o Teorema Fundamental do Cálculo, parte 2, para calcular as seguintes integrais definidas:
(1) integral0^1(7 x+2) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral definida de no intervalo de 0 a 1 usando o Teorema Fundamental do Cálculo, parte 2. Isso significa que vamos encontrar a área sob a curva dessa função entre esses dois pontos. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o conceito de antiderivada e como aplicar o teorema para calcular integrais definidas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a antiderivada da função integral 7x , dx = 72x^2 . A antiderivada é uma função cuja derivada é a função original. Vamos integrar cada termo separadamente:
integral 2 , dx = 2x
F(x) = 72x^2 + 2x + C
Então, a antiderivada de é:
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar para integrais definidas.

Passo 3

Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, parte 2, que nos diz que para uma função contínua F(1) = 72(1)^2 + 2(1) = 72 + 2 = 72 + 42 = 112 no intervalo F(0) = 72(0)^2 + 2(0) = 0 + 0 = 0 , a integral definida de de a é igual a , onde é uma antiderivada de .
Então, substituímos por 1 e por 0 na antiderivada :

Passo 4

Finalmente, calculamos a diferença integral0^1(7x + 2) , dx = F(1) - F(0) = 112 - 0 = 112 para encontrar o valor da integral definida:

Resposta

A integral definida de de 0 a 1 é igual a .

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