Calcule as seguintes integrais indefinidas: integral 3 x+1(x-1)(x+2)(x+4) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral indefinida de 3x + 1(x - 1)(x + 2)(x + 4) dx. Aqui estamos lidando com frações racionais, e para resolver isso, vamos usar a técnica de frações parciais. Isso significa que vamos decompor a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a fração 3x + 1(x - 1)(x + 2)(x + 4) como uma soma de frações mais simples. Assumimos que ela pode ser escrita da seguinte forma:
3x + 1(x - 1)(x + 2)(x + 4) = Ax - 1 + Bx + 2 + Cx + 4
Aqui, A, B e C são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum (x - 1)(x + 2)(x + 4) para eliminar os denominadores:
3x + 1 = A(x + 2)(x + 4) + B(x - 1)(x + 4) + C(x - 1)(x + 2)
Agora, vamos expandir e simplificar a expressão do lado direito.

Passo 4

Expandindo cada termo:
  1. A(x + 2)(x + 4) = A(x^2 + 6x + 8)
  2. B(x - 1)(x + 4) = B(x^2 + 3x - 4)
  3. C(x - 1)(x + 2) = C(x^2 + x - 2)
Portanto, a equação fica:
3x + 1 = A(x^2 + 6x + 8) + B(x^2 + 3x - 4) + C(x^2 + x - 2)

Passo 5

Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
3x + 1 = (A + B + C)x^2 + (6A + 3B + C)x + (8A - 4B - 2C)
Isso nos dá um sistema de equações para encontrar A, B e C comparando os coeficientes dos termos de mesmo grau:
  1. Coeficiente de x^2: A + B + C = 0
  2. Coeficiente de x: 6A + 3B + C = 3
  3. Termo constante: 8A - 4B - 2C = 1

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações. Podemos usar substituição ou eliminação. Vamos resolver passo a passo:
Da primeira equação:
A + B + C = 0 Rightarrow C = -A - B
Substituímos C nas outras equações:
Segunda equação:
6A + 3B + (-A - B) = 3 5A + 2B = 3 (Equação 2) çã
Terceira equação:
8A - 4B - 2(-A - B) = 1 8A - 4B + 2A + 2B = 1 10A - 2B = 1 (Equação 3) çã

Passo 7

Agora temos:
  1. 5A + 2B = 3 (Equação 2)
  2. 10A - 2B = 1 (Equação 3)
Somando as duas equações para eliminar B:
(5A + 2B) + (10A - 2B) = 3 + 1 15A = 4 A = 415
Agora, substituímos A de volta na Equação 2:
5(415) + 2B = 3 2015 + 2B = 3 43 + 2B = 3 2B = 3 - 43 = 53 B = 56
E então, substituímos A e B na expressão para C:
C = -A - B = -415 - 56 = -415 - 2530 = -830 - 2530 = -3330 = -1110

Passo 8

Agora que temos os valores de A, B e C, podemos reescrever a fração original:
3x + 1(x - 1)(x + 2)(x + 4) = 415x - 1 + 56x + 2 + -1110x + 4
Simplificando:
3x + 1(x - 1)(x + 2)(x + 4) = 415cdot1x - 1 + 56cdot1x + 2 - 1110cdot1x + 4

Passo 9

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
integral 3x + 1(x - 1)(x + 2)(x + 4) dx = 415 integral 1x - 1 dx + 56 integral 1x + 2 dx - 1110 integral 1x + 4 dx
Integrando:
= 415 ln|x - 1| + 56 ln|x + 2| - 1110 ln|x + 4| + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral indefinida é:
415 ln|x - 1| + 56 ln|x + 2| - 1110 ln|x + 4| + C

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