integral arctg(t) d t

Passo 1

Vamos resolver a integral de arctg(t) em relação a t. Para isso, vamos usar o método de integração por partes, que é uma técnica importante no cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, lembramos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
  • u = arctg(t)
  • dv = dt

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du e v:
  • Derivando u em relação a t:
    du = 11 + t^2 , dt
  • Integrando dv:
    v = integral dt = t

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral arctg(t) , dt = t cdot arctg(t) - integral t cdot 11 + t^2 , dt

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral restante:
integral t1 + t^2 , dt
Fazemos uma substituição simples:
  • Seja w = 1 + t^2, então dw = 2t , dt, ou seja, t , dt = dw2.

Passo 6

Substituindo na integral:
integral t1 + t^2 , dt = 12 integral 1w , dw = 12 ln|w| + C = 12 ln(1 + t^2) + C

Resposta

A integral de arctg(t) em relação a t é:
integral arctg(t) , dt = t cdot arctg(t) - 12 ln(1 + t^2) + C

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