Calcule as seguintes integrais indefinidas:
integral sen(2 x) cos ^2(2 x) d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral indefinida de sin(2x) cos^2(2x) em relação a x. Isso envolve Cálculo Integral, especificamente técnicas de integração de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a substituição (ou mudança de variável), que é uma técnica para simplificar integrais complexas.

Passo 2

Vamos começar escolhendo uma parte da função para simplificar usando a substituição. Observamos que temos sin(2x) e cos^2(2x). Vamos definir:
u = cos(2x)

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de u em relação a x para encontrar du:
dudx = -2sin(2x) Rightarrow du = -2sin(2x) dx Rightarrow -12 du = sin(2x) dx

Passo 4

Vamos substituir u e du na integral original:
integral sin(2x) cos^2(2x) dx = integral u^2 cdot sin(2x) dx
Substituindo sin(2x) dx por -12 du:
= integral u^2 cdot (-12 du) = -12 integral u^2 du

Passo 5

Agora, vamos integrar u^2 em relação a u:
integral u^2 du = u^33 + C
Portanto:
-12 integral u^2 du = -12 cdot u^33 + C = -u^36 + C

Passo 6

Por fim, substituímos u de volta para termos em função de x:
u = cos(2x) Rightarrow -u^36 + C = -cos^3(2x)6 + C

Resposta

A integral indefinida é:
integral sin(2x) cos^2(2x) dx = -cos^3(2x)6 + C

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