Calcule usando frações parciais:
integral 1x^4-3 x^3+3 x^2-x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular integral 1x^4-3x^3+3x^2-x,dx. O conteúdo é decomposição em frações parciais de uma função racional, e vamos precisar primeiro fatorar o denominador para montar a decomposição.

Passo 2

Fatorando o denominador temos
x^4-3x^3+3x^2-x = xl(x^3-3x^2+3x-1r)
Repare que x^3-3x^2+3x-1 é o binômio de Newton
(x-1)^3
Então x^4-3x^3+3x^2-x = x(x-1)^3

Passo 3

Montamos a decomposição
1x(x-1)^3 = Ax+Bx-1+C(x-1)^2+D(x-1)^3
Multiplicando por x(x-1)^3 e igualando ao numerador 1, usamos x=0 e x=1 para achar rápido A=-1 e D=1, e depois comparando coeficientes de potências de x chegamos em B=1 e C=-1.

Passo 4

Substituindo na integral dá
integral1x(x-1)^3,dx=integrall(-tfrac1x+tfrac1x-1-tfrac1(x-1)^2+tfrac1(x-1)^3r),dx
Agora integramos termo a termo usando integral x^n dx = x^n+1/(n+1) e integral1/x,dx=ln|x|:
- integral -tfrac1x,dx=-ln|x|
- integral tfrac1x-1,dx=ln|x-1|
- integral -tfrac1(x-1)^2,dx=+tfrac1x-1
- integral tfrac1(x-1)^3,dx=-tfrac12(x-1)^2.

Resposta

-\ln|x|+\ln|x-1|+\frac{1}{x-1}-\frac{1}{2(x-1)^2}+C

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