Calcule usando substituição trigonométrica:
integral raizx^2-a^2x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
∫ (√(x²−a²))/x² dx usando substituição trigonométrica. O conteúdo envolve uma raiz de diferença de quadrados e divisão por x². Vamos usar a substituição x = a sec θ e identidades trigonométricas para reescrever a integral em θ.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = asectheta, dx = asecthetatantheta,dtheta, raizx^2 - a^2 = atantheta
Substituindo na integral, vem
integral atanthetaa^2sec^2theta cdot asecthetatantheta,dtheta

Passo 3

Agora simplificamos os fatores. Dentro da integral,
atantheta cdot asecthetatanthetaa^2sec^2theta = a^2secthetatan^2thetaa^2sec^2theta = tan^2thetasectheta = sectheta - costheta
usando tan^2theta = sec^2theta - 1. Assim a integral vira
integral (sectheta - costheta),dtheta

Passo 4

Integramos termo a termo:
integral sectheta,dtheta = lnl|sectheta + tanthetar| + C1, integral costheta,dtheta = sintheta + C2
Logo a primitiva é
lnl|sectheta + tanthetar| - sintheta + C

Passo 5

Voltando à variável x:
sectheta = x/a
tantheta = raizx^2 - a^2/a
sintheta = tanthetasectheta = raizx^2 - a^2x.
Substituindo, obtemos
lnl(x + raizx^2 - a^2r) - raizx^2 - a^2x + C,
onde absorvemos o -ln a em C.

Passo 6

A expressão final da primitiva é dada por: lnl(x + raizx^2 - a^2r) - raizx^2 - a^2x + C.

Resposta

lnl(x + raizx^2 - a^2r) - raizx^2 - a^2x + C

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