Calcule usando substituição trigonométrica:
integral raiza^2+x^2x d x

Passo 1

Estamos lidando com a integral indefinida integral raiza^2+x^2x,dx. O conteúdo aqui é integração por substituição trigonométrica, pois aparece raiza^2+x^2. Vamos usar isso para simplificar.

Passo 2

Fazemos a substituição trigonométrica clássica para raiza^2+x^2:
x = atantheta Rightarrow dx = asec^2theta,dtheta, raiza^2+x^2 = asectheta

Passo 3

Substituindo na integral, temos
integral raiza^2+x^2x,dx = integral asecthetaatantheta;(asec^2theta,dtheta) = aintegral secthetatantheta;sec^2theta,dtheta = aintegral sec^2theta,csctheta,dtheta

Passo 4

Para integrar integral sec^2theta,csctheta,dtheta, usamos integração por partes dentro do ângulo:
Escolhemos
u = csctheta, dv = sec^2theta,dtheta du = -cscthetacottheta,dtheta, v = tantheta

Passo 5

Então
integral sec^2theta,csctheta,dtheta = u v - integral v,du = cscthetatantheta - integral tanthetal(-cscthetacotthetar),dtheta = cscthetatantheta + integral csctheta,dtheta

Passo 6

Sabemos que
integral csctheta,dtheta = lnl|tan(tfractheta2)r| + C

Passo 7

Logo
integral sec^2theta,csctheta,dtheta = cscthetatantheta + lnl|tan(tfractheta2)r| + C

Passo 8

Voltando à nossa integral e multiplicando por a:
I = al(cscthetatantheta + ln|tan(tfractheta2)|r) + C

Passo 9

Agora reescrevemos em função de x:
csctheta = 1sintheta = raiza^2+x^2x, tantheta = xa, tanl(tfractheta2r)=sintheta1+costheta=xa+raiza^2+x^2

Passo 10

Substituindo, obtemos
I = raiza^2+x^2 + alnl|xa+raiza^2+x^2r| + C

Resposta

integral raiza^2+x^2x,dx = raiza^2+x^2 + alnl|xa+raiza^2+x^2r| + C

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