Calcule as seguintes integrais indefinidas.
integral sen^3(2 x) cos ^4(2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral sin^3(2x),cos^4(2x),dx
O conteúdo é integração de potências de seno e cosseno. Como o expoente de sin é ímpar, vamos usar a identidade sin^2=!1-cos^2 e depois fazer uma substituição trigonométrica.

Passo 2

Escrevendo sin^3(2x)=sin^2(2x),sin(2x) e usando sin^2(2x)=1-cos^2(2x), temos
integral sin^3(2x)cos^4(2x),dx = integral l(1-cos^2(2x)r),cos^4(2x),sin(2x),dx

Passo 3

Fazendo a substituição
u = cos(2x), du = -2,sin(2x),dx ;Longrightarrow; sin(2x),dx = -tfrac12,du,
a integral vira
integral (1-u^2),u^4,sin(2x),dx = -tfrac12integral (1-u^2),u^4,du = -tfrac12integral (u^4-u^6),du

Passo 4

Integramos em u:
-tfrac12integral (u^4-u^6),du = -tfrac12l(tfracu^55-tfracu^77r)+C = -tfracu^510+tfracu^714+C

Passo 5

Voltando a x com u=cos(2x), obtemos
integral sin^3(2x)cos^4(2x),dx = -cos^5(2x)10+cos^7(2x)14+C

Resposta

-cos^5(2x)10+cos^7(2x)14+C

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