Calcule as seguintes integrais indefinidas.
integral e^2 x cos ^2(e^2 x-1) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral e^2x,cos^2l(e^2x-1r),dx
O conteúdo aqui é integração por substituição combinado com a identidade trigonométrica para cos^2t. Vamos usar essas ideias para resolver.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = e^2x-1,
de onde
dt = 2,e^2x,dx Longrightarrow e^2x,dx = dt2
Substituindo na integral, obtemos
integral e^2x,cos^2l(e^2x-1r),dx = integral cos^2(t),dt2 = 12integral cos^2(t),dt

Passo 3

Aplicamos a identidade
cos^2(t) = 1+cos(2t)2,
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12integral cos^2(t),dt = 12integral 1+cos(2t)2,dt = 14integral l(1+cos(2t)r),dt

Passo 4

Integramos termo a termo:
14integral 1,dt = t4, 14integral cos(2t),dt = 14cdotsin(2t)2 = sin(2t)8
Então, em função de t, a antiderivada é
t4 + sin(2t)8 + C

Passo 5

Voltando à variável x com t=e^2x-1, obtemos
integral e^2xcos^2l(e^2x-1r),dx = e^2x-14 + sinl(2(e^2x-1)r)8 + C

Resposta

boxedintegral e^2xcos^2l(e^2x-1r),dx = e^2x-14 + sinl(2e^2x-2r)8 + C

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