Calcule as seguintes integrais indefinidas.
integral sen^6(3 x+1) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral sen^6l(3x+1r),dx
O conteúdo principal aqui é a redução de potência para funções trigonométricas, em particular usar a identidade de redução de sen^2theta.

Passo 2

Começamos lembrando a identidade de redução de potência
sen^2theta = 1 - cos(2theta)2
Elevando ao cubo, sen^6theta = (sen^2theta)^3. Usando a binomial expandimos
sen^6theta = l(tfrac1-cos(2theta)2r)^3 = 18,(1-cos(2theta))^3
Desenvolvendo (1-cos(2theta))^3 e reunindo termos, obtém-se a fórmula padrão
sen^6theta = 132l(10 - 15cos(2theta) + 6cos(4theta) - cos(6theta)r)

Passo 3

Na integral original faça a substituição
u = 3x + 1, du = 3,dxLongrightarrow dx = du3
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integral sen^6(3x+1),dx = 13integral sen^6(u),du = 13integral 132l(10 - 15cos(2u) + 6cos(4u) - cos(6u)r),du
Reunindo constantes, o coeficiente fica tfrac196.

Passo 4

Integramos termo a termo:
integral 10,du &= 10u, integral -15cos(2u),du &= -15cdotsin(2u)2 = -152sin(2u), integral 6cos(4u),du &= 6cdotsin(4u)4 = 32sin(4u), integral -cos(6u),du &= -sin(6u)6
Portanto, antes de colocar a constante global tfrac196, o resultado interior é
10u - 152sin(2u) + 32sin(4u) - 16sin(6u)

Passo 5

Multiplicando por tfrac196 e simplificando os coeficientes, obtemos
1096,u -152cdot96,sin(2u) +32cdot96,sin(4u) -16cdot96,sin(6u) + C
Ou seja,
548,u -564,sin(2u) +164,sin(4u) -1576,sin(6u) + C
Por fim, voltamos à variável x com u=3x+1.

Resposta

integral sen^6l(3x+1r),dx = 548l(3x+1r) -564,sinl(2(3x+1)r) +164,sinl(4(3x+1)r) -1576,sinl(6(3x+1)r) + C

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