Calcule as seguintes integrais indefinidas: integral sin (3 x)3+cos (3 x) d x

Passo 1

Vamos calcular a integral indefinida integral sin(3x)3 + cos(3x) , dx. Aqui, estamos trabalhando com integração, especificamente com uma função trigonométrica. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para tornar a integral mais simples. Vamos definir uma nova variável $ u $ igual ao denominador da fração:
u
Essa substituição nos ajudará a expressar a integral em termos de $ u $, facilitando a resolução.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de $ u $ em relação a $ x $ para substituir $ dx $ na integral. Calculando a derivada de $ u $:
u
Resolvendo para $ dx $:
x

Passo 4

Vamos substituir $ u $ e $ dx $ na integral original:
u
Aqui, as $ \sin(3x) $ se cancelam, simplificando a integral.

Passo 5

Agora, temos uma integral mais simples para resolver:
-13 integral 1u , du
A integral de $ \frac{1}{u} $ em relação a $ u $ é o logaritmo natural de $ u $:
1u
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, substituímos $ u $ de volta pela expressão original em termos de $ x $:
u

Resposta

integral sin(3x)3 + cos(3x) , dx = -13 ln|3 + cos(3x)| + C

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