Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
Vamos calcular a integral indefinida
. Aqui, estamos trabalhando com integração, especificamente com uma função trigonométrica. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para tornar a integral mais simples. Vamos definir uma nova variável $ u $ igual ao denominador da fração:
Essa substituição nos ajudará a expressar a integral em termos de $ u $, facilitando a resolução.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de $ u $ em relação a $ x $ para substituir $ dx $ na integral. Calculando a derivada de $ u $:
Resolvendo para $ dx $:
Passo 4
Vamos substituir $ u $ e $ dx $ na integral original:
Aqui, as $ \sin(3x) $ se cancelam, simplificando a integral.
Passo 5
Agora, temos uma integral mais simples para resolver:
A integral de $ \frac{1}{u} $ em relação a $ u $ é o logaritmo natural de $ u $:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, substituímos $ u $ de volta pela expressão original em termos de $ x $: