Calcule as seguintes integrais, ao longo das curvas
, orientadas positivamente.
, onde
é a fronteira da região limitada por
e
.
Passo 1
Temos a integral de linha fechada
, com
e
, e a curva
é a fronteira positiva da região
limitada por
e
. Vamos usar o Teorema de Green para transformar em integral dupla.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais que aparecem no Teorema de Green:
Passo 3
Então o integrando fica
Passo 4
Pelo Teorema de Green:
Passo 5
A região
é dada por
variando de
a
e, para cada
,
vai de
até
. Logo montamos:
Passo 6
Primeiro avaliamos a integral em
:
Passo 7
Em seguida integramos em
:
Passo 8
Sabendo que
e
, obtemos
Passo 9
Substituindo
e
, temos