Calcule as seguintes integrais, ao longo das curvas C, orientadas positivamente.
(c) ointC x^-1 e^y d x+(e^y ln x+2 x) d y, onde C é a fronteira da região limitada por x=y^4 e x=2.

Passo 1

Temos a integral de linha fechada ointC M,dx+N,dy, com M(x,y)=x^-1e^y e N(x,y)=e^yln x+2x, e a curva C é a fronteira positiva da região D limitada por x=y^4 e x=2. Vamos usar o Teorema de Green para transformar em integral dupla.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais que aparecem no Teorema de Green:
partial Npartial x=partialpartial xl(e^yln x+2xr)=e^y1x+2,
partial Mpartial y=partialpartial yl(x^-1e^yr)=x^-1e^y

Passo 3

Então o integrando fica
partial Npartial x-partial Mpartial y=l(e^y1x+2r)-l(x^-1e^yr)=2

Passo 4

Pelo Teorema de Green:
ointC M,dx+N,dy=integral duplaDl(partialxN-partialyMr),dA=integral duplaD2,dA

Passo 5

A região D é dada por y variando de -2^1/4 a +2^1/4 e, para cada y, x vai de y^4 até 2. Logo montamos:
integral duplaD2,dA=integraly=-2^1/4^2^1/4integralx=y^4^22,dx,dy

Passo 6

Primeiro avaliamos a integral em x:
integralx=y^4^22,dx=2l(2-y^4r)

Passo 7

Em seguida integramos em y:
integraly=-2^1/4^2^1/42l(2-y^4r),dy=2l[integral-a^a(2-y^4),dyr], a=2^1/4

Passo 8

Sabendo que integral-a^a2,dy=4a e integral-a^ay^4,dy=2a^5/5, obtemos
2l(4a-tfrac2a^55r)=8a-tfrac4a^55

Passo 9

Substituindo a=2^1/4 e a^5=2cdot2^1/4, temos
8,2^1/4-tfrac45l(2cdot2^1/4r)=l(8-tfrac85r)2^1/4=tfrac325,2^1/4

Resposta

32cdot2^tfrac145

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