Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral indefinida
. Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Integral, e para resolver essa integral, vamos precisar manipular a expressão no denominador para simplificar a fração. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador
. Para facilitar, podemos reescrever a combinação de
e
usando uma identidade trigonométrica que envolve amplitude e fase.
Passo 3
Lembrando que uma expressão como
pode ser escrita como
, onde
e
. No nosso caso, temos
.
Passo 4
Calculando
:
E
:
Como estamos trabalhando com ângulos, consideramos o valor positivo de
e ajustamos o ângulo conforme necessário.
Passo 5
Então, podemos reescrever
como
, onde
. Assim, o denominador fica:
Passo 6
Agora, a integral fica:
Para resolver essa integral, usamos uma técnica de substituição que simplifica a expressão.
Passo 7
Sabemos que:
desde que
. No nosso caso,
e
, e como
não é verdadeiro, precisamos ajustar nossa abordagem.
Passo 8
Vamos multiplicar numerador e denominador por
para racionalizar o denominador:
Passo 9
Agora, integral se torna:
Podemos separar essa fração:
Passo 10
Essas integrais envolvem funções trigonométricas quadráticas no denominador, que podem ser resolvidas usando substituições trigonométricas ou tabelas de integrais conhecidas. Após resolver essas integrais, somamos os resultados.
Resposta
Após realizar os cálculos, a integral indefinida é igual a:
onde
é a constante de integração.