Calcule as seguintes integrais indefinidas: integral sin (x) sin (4 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida integral sin(x) sin(4x) , dx. Aqui, vamos trabalhar com trigonometria, especificamente com identidades trigonométricas que nos ajudam a simplificar produtos de funções trigonométricas para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, precisamos simplificar o produto sin(x) sin(4x). Para isso, vamos usar a identidade trigonométrica que transforma o produto de dois senos em uma soma de cossenos:
sin(A) sin(B) = cos(A - B) - cos(A + B)2
Aqui, A = x e B = 4x.

Passo 3

Aplicando a identidade, temos:
sin(x) sin(4x) = cos(x - 4x) - cos(x + 4x)2 = cos(-3x) - cos(5x)2
Lembrando que cos(-3x) = cos(3x), pois o cosseno é uma função par.

Passo 4

Então, a expressão fica:
sin(x) sin(4x) = cos(3x) - cos(5x)2
Agora, substituímos de volta na integral:
integral sin(x) sin(4x) , dx = integral cos(3x) - cos(5x)2 , dx

Passo 5

Podemos separar a integral em duas partes:
integral cos(3x)2 , dx - integral cos(5x)2 , dx
Isso facilita a integração termo a termo.

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo individualmente. A integral de cos(kx) em relação a x é sin(kx)k. Aplicando isso:
12 integral cos(3x) , dx = 12 cdot sin(3x)3 = sin(3x)6
12 integral cos(5x) , dx = 12 cdot sin(5x)5 = sin(5x)10

Passo 7

Subtraindo os dois resultados, temos:
sin(3x)6 - sin(5x)10 + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

integral sin(x) sin(4x) , dx = sin(3x)6 - sin(5x)10 + C

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