Calcule as seguintes integrais indefinidas: integral x^2+x+1x^2-2 x+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral x^2+x+1x^2-2x+1,dx. O conteúdo aqui é integração de frações racionais: primeiro vamos fazer divisão polinomial para simplificar e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Vamos dividir x^2+x+1 por x^2-2x+1=(x-1)^2. Fazendo a divisão, obtemos quociente 1 e resto
(x^2+x+1)-(x^2-2x+1)=3x
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x^2+x+1(x-1)^2 = 1 + 3x(x-1)^2

Passo 3

Reescrevendo 3x(x-1)^2 em termos de x-1: note que 3x=3[(x-1)+1], então
3x(x-1)^2 = 3(x-1)(x-1)^2 + 3(x-1)^2 = 3x-1 + 3(x-1)^2

Passo 4

Agora a integral fica
integralx^2+x+1(x-1)^2,dx = integral 1,dx + integral 3x-1,dx + integral 3(x-1)^2,dx

Passo 5

Integrando cada parte:
integral 1,dx = x, integral 3x-1,dx = 3ln|x-1|, integral 3(x-1)^2,dx = -3x-1

Passo 6

Somando tudo e acrescentando a constante de integração, chegamos à resposta final.

Resposta

x + 3ln|x-1| - tfrac3x-1 + C

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