Calcule as seguintes integrais indefinidas.
integral e^2 x-1e^2 x+1 d x.

Passo 1

Neste exercício vamos calcular a integral indefinida integral e^2x-1e^2x+1,dx. O conteúdo envolvido é mudança de variável e decomposição em frações parciais para integrar funções racionais em t.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável t = e^2x. Então temos dt = 2e^2x,dx = 2t,dx, o que implica dx = dt2t. A integral passa a ser
integral e^2x-1e^2x+1,dx = integral t-1t+1 cdot dt2t = 12 integral t-1t(t+1),dt

Passo 3

Agora fazemos a decomposição em frações parciais de t-1t(t+1):
t-1t(t+1) = -1t + 2t+1
Logo a integral fica
12 integral l(-1t + 2t+1r),dt

Passo 4

Integramos termo a termo:
12 l( -integral dtt + 2integral dtt+1 r) = 12 l( -ln|t| + 2ln|t+1| r) + C
Voltando para x, lembrando que t=e^2x, obtemos
-tfrac12 lnl(e^2xr) + lnl(e^2x+1r) + C = -x + lnl(e^2x+1r) + C

Resposta

ln(e^2x+1) - x + C

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