Questão 2(1,6 pts) Calcule y=x e, D é uma região delimitada por y=x^3, x >= 0 . R:23/84

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaD (x^2 + 2y),dA, onde D é a região entre as curvas y = x^3 e y = x para x >= 0. O conteúdo é integração dupla em regiões planas e vamos precisar montar uma integral iterada com limites adequados.

Passo 2

Para encontrar os limites de integração, igualamos as curvas: x^3 = x, o que dá x(x^2 - 1) = 0 e, para x >= 0, resulta em x = 0 e x = 1. Assim, para cada x em [0,1], y varia de y = x^3 até y = x.

Passo 3

Montamos então a integral iterada:
integral duplaD (x^2 + 2y),dA = integralx=0^1 l( integraly=x^3^y=x (x^2 + 2y),dy r) dx

Passo 4

Calculamos primeiro a integral interna em y:
integralx^3^x (x^2 + 2y),dy = integralx^3^x x^2,dy + integralx^3^x 2y,dy = x^2l(x - x^3r) + l(y^2r)|x^3^x = x^3 - x^5 + (x^2 - x^6)
Juntando os termos, obtemos x^2 + x^3 - x^5 - x^6.

Passo 5

Agora integramos em x de 0 a 1:
integral0^1 l(x^2 + x^3 - x^5 - x^6r) dx = l[tfracx^33 + tfracx^44 - tfracx^66 - tfracx^77r]0^1 = tfrac13 + tfrac14 - tfrac16 - tfrac17
Colocando no mesmo denominador 84, temos:
tfrac2884 + tfrac2184 - tfrac1484 - tfrac1284 = tfrac2384

Resposta

23/84

Exercícios relacionados