Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral indefinida
. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de integração que envolvem derivadas e funções trigonométricas inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador
. A ideia é tentar relacionar o numerador com a derivada do denominador. A derivada de
em relação a
é
.
Agora, observe que no numerador temos
, que é parecido com
, mas não exatamente igual. Então, vamos reescrever o numerador de forma a incluir essa derivada:
Isso permite dividir a fração original em duas partes:
Passo 3
Vamos integrar a primeira parte:
.
Aqui, notamos que
é exatamente a derivada do denominador
. Quando temos uma fração onde o numerador é a derivada do denominador, a integral fica mais fácil:
Aplicando isso aqui:
Passo 4
Agora, vamos integrar a segunda parte:
.
Primeiro, precisamos completar o quadrado no denominador para simplificar a expressão.
Então, a integral fica:
Sabemos que a integral de
é
. Aplicando isso aqui:
Passo 5
Agora, juntamos as duas partes que integramos:
Onde
é a constante de integração geral.