Calcule as seguintes integrais indefinidas:
integral 2 x-1x^2-6 x+13 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida integral 2x - 1x^2 - 6x + 13 , dx. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de integração que envolvem derivadas e funções trigonométricas inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador x^2 - 6x + 13. A ideia é tentar relacionar o numerador com a derivada do denominador. A derivada de x^2 - 6x + 13 em relação a x é 2x - 6.
Agora, observe que no numerador temos 2x - 1, que é parecido com 2x - 6, mas não exatamente igual. Então, vamos reescrever o numerador de forma a incluir essa derivada:
2x - 1 = (2x - 6) + 5
Isso permite dividir a fração original em duas partes:
2x - 1x^2 - 6x + 13 = 2x - 6x^2 - 6x + 13 + 5x^2 - 6x + 13

Passo 3

Vamos integrar a primeira parte: integral 2x - 6x^2 - 6x + 13 , dx.
Aqui, notamos que 2x - 6 é exatamente a derivada do denominador x^2 - 6x + 13. Quando temos uma fração onde o numerador é a derivada do denominador, a integral fica mais fácil:
integral f'(x)f(x) , dx = ln|f(x)| + C
Aplicando isso aqui:
integral 2x - 6x^2 - 6x + 13 , dx = ln|x^2 - 6x + 13| + C1

Passo 4

Agora, vamos integrar a segunda parte: integral 5x^2 - 6x + 13 , dx.
Primeiro, precisamos completar o quadrado no denominador para simplificar a expressão.
x^2 - 6x + 13 = (x^2 - 6x + 9) + 4 = (x - 3)^2 + 4
Então, a integral fica:
integral 5(x - 3)^2 + 4 , dx
Sabemos que a integral de 1u^2 + a^2 é 1a tan^-1(ua) + C. Aplicando isso aqui:
integral 5(x - 3)^2 + 4 , dx = 52 tan^-1(x - 32) + C2

Passo 5

Agora, juntamos as duas partes que integramos:
ln|x^2 - 6x + 13| + 52 tan^-1(x - 32) + C
Onde C = C1 + C2 é a constante de integração geral.

Resposta

integral 2x - 1x^2 - 6x + 13 , dx = ln|x^2 - 6x + 13| + 52 tan^-1(x - 32) + C

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