Demonstre que, se a série sumn=1^infty an for absolutamente convergente, então a série
sumn=1^infty(n+1n) an
é absolutamente convergente também.

Passo 1

O enunciado diz que a série sumn=1^inftyan é absolutamente convergente, ou seja, sumn=1^infty|an| converge. O conteúdo que vamos usar é o teste de comparação para séries numéricas.

Passo 2

Para todo n>=1 temos
n+1n=1+1n<=2
Logo, em valor absoluto,
n+1n|an|<=2|an|

Passo 3

Como sumn=1^infty|an| converge, pelo teste da série com fator constante, sumn=1^infty2|an|=2sumn=1^infty|an| também converge. Portanto, pelo teste de comparação, a série sumn=1^inftytfracn+1n|an| converge absolutamente.

Resposta

A série sumn=1^inftyn+1nan é absolutamente convergente.

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