Calcule usando frações parciais:
integral x^5+3x^3-x d x

Passo 1

Neste exercício queremos calcular a integral integral x^5+3x^3-x,dx. O conteúdo envolve divisão de polinômios e frações parciais. Vamos usar divisão polinomial para simplificar o integrando e depois decompor a parte restante em frações parciais.

Passo 2

Aplicamos divisão polinomial de x^5+3 por x^3-x. Ao dividir, obtemos
x^5+3x^3-x=x^2+1+x+3x(x-1)(x+1)

Passo 3

Fatoramos o denominador remanescente: x^3-x=x(x-1)(x+1). Escrevemos então
x+3x(x-1)(x+1)=Ax+Bx-1+Cx+1

Passo 4

Igualamos numeradores:
x+3=A(x-1)(x+1)+B,x(x+1)+C,x(x-1)
Expandindo e comparando coeficientes, obtemos o sistema
A+B+C=0, B-C=1, -A=3 Resolvido, dá A=-3, B=2, C=1.

Passo 5

Reescrevemos a integral como soma de duas partes:
integral(x^2+1),dx+integrall(-3x+2x-1+1x+1r)dx
Para a primeira parte, integral(x^2+1)dx=x^33+x. Para a segunda, usamos integraldxx-a=ln|x-a|.

Passo 6

Somamos os resultados e incluímos a constante de integração:
x^33+x-3ln|x|+2ln|x-1|+ln|x+1|+C

Resposta

\displaystyle \frac{x^{3}}{3}+x-3\ln\lvert x\rvert+2\ln\lvert x-1\rvert+\ln\lvert x+1\rvert+C

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