Neste exercício queremos calcular a integral . O conteúdo envolve divisão de polinômios e frações parciais. Vamos usar divisão polinomial para simplificar o integrando e depois decompor a parte restante em frações parciais.
Passo 2
Aplicamos divisão polinomial de por . Ao dividir, obtemos
Passo 3
Fatoramos o denominador remanescente: . Escrevemos então
Passo 4
Igualamos numeradores:
Expandindo e comparando coeficientes, obtemos o sistema
Resolvido, dá A=-3, B=2, C=1.
Passo 5
Reescrevemos a integral como soma de duas partes:
integral(x^2+1),dx+integrall(-3x+2x-1+1x+1r)dx
Para a primeira parte, integral(x^2+1)dx=x^33+x. Para a segunda, usamos integraldxx-a=ln|x-a|.
Passo 6
Somamos os resultados e incluímos a constante de integração: