Calcule as seguintes integrais indefinidas: integral 2 x e^x^21+e^2 x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida: integral 2x e^x^21 + e^2x^2 , dx. Aqui estamos lidando com cálculo integral, especificamente com uma integral que envolve funções exponenciais e frações. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais complexas substituindo partes da expressão por uma nova variável.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para facilitar a resolução. Olhando para o numerador 2x e^x^2, vemos que se considerarmos u = e^x^2, a derivada de u em relação a x será du/dx = 2x e^x^2. Isso é ótimo porque 2x e^x^2,dx está exatamente no numerador da nossa integral.

Passo 3

Agora, substituímos na integral usando u = e^x^2 e du = 2x e^x^2,dx. Assim, a integral original fica:
integral du1 + u^2
Isso simplificou bastante a expressão!

Passo 4

A integral integral du1 + u^2 é uma forma padrão que conhecemos. A antiderivada dessa função é a função arcotangente, ou seja:
arctan(u) + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Agora, precisamos voltar à variável original x. Lembramos que fizemos a substituição u = e^x^2, então substituímos u de volta na expressão:
arctan(e^x^2) + C

Resposta

A integral indefinida é igual a:
arctan(e^x^2) + C

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