© (1,0 ponto) Se
é um grupo cíclico de ordem 6, gerado por
, então
.
Passo 1
O enunciado diz que temos um grupo cíclico G de ordem 6, gerado por a, e quer saber se G é igual a
. O conteúdo envolve teoria de grupos cíclicos e condição para um elemento ser gerador.
Passo 2
Num grupo cíclico de ordem n, o elemento
tem ordem
. Para que
seja gerador de todo o grupo, seu subgrupo gerado precisa ter ordem n, o que acontece exatamente quando
.
Passo 3
Aqui n=6 e k=5. Calculamos
. Isso implica que
tem ordem
, logo gera todo G, e portanto
.
Resposta
A afirmação é verdadeira, pois
implica que
tem ordem 6 e coincide com G.