© (1,0 ponto) Se G é um grupo cíclico de ordem 6, gerado por a, então G=lang<= a^5rang<=.

Passo 1

O enunciado diz que temos um grupo cíclico G de ordem 6, gerado por a, e quer saber se G é igual a lang<= a^5rang<=. O conteúdo envolve teoria de grupos cíclicos e condição para um elemento ser gerador.

Passo 2

Num grupo cíclico de ordem n, o elemento a^k tem ordem n/gcd(n,k). Para que a^k seja gerador de todo o grupo, seu subgrupo gerado precisa ter ordem n, o que acontece exatamente quando gcd(n,k)=1.

Passo 3

Aqui n=6 e k=5. Calculamos gcd(6,5)=1. Isso implica que a^5 tem ordem 6/1=6, logo gera todo G, e portanto lang<= a^5rang<==G.

Resposta

A afirmação é verdadeira, pois gcd(6,5)=1 implica que lang<= a^5rang<= tem ordem 6 e coincide com G.

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