Determine se a equação (3 x+5 y) d x+(5 x-3 y^3) d y=0 é exata. Em seguida, resolva a equação diferencial.

Passo 1

Nesse exercício, a gente tem a equação diferencial (3x + 5y),dx + (5x - 3y^3),dy = 0. O conteúdo é de equações diferenciais exatas: primeiro a gente vai checar se ela é exata comparando partial M/partial y com partial N/partial x, onde M(x,y)=3x+5y e N(x,y)=5x-3y^3.
Para verificar exatidão, calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = partialpartial y(3x+5y)=5,
partial Npartial x = partialpartial x(5x-3y^3)=5
Como partial M/partial y=5=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 2

Agora que é exata, existe uma função potencial phi(x,y) tal que
partial phipartial x=M(x,y)=3x+5y
Integramos em relação a x:
phi(x,y)=integral(3x+5y),dx=32x^2+5xy+h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 3

Para achar h(y), derivamos phi em relação a y e igualamos a N(x,y):
partial phipartial y=5x+h'(y)e isso deve ser igual a N(x,y)=5x-3y^3
Logo,
5x+h'(y)=5x-3y^3implies h'(y)=-3y^3

Passo 4

Integramos para obter h(y):
h(y)=integral(-3y^3),dy=-34y^4+C

Passo 5

Substituindo em phi, a solução geral implícita fica:
phi(x,y)=32x^2+5xy-34y^4=constante

Resposta

32x^2+5xy-34y^4=C

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