Determine a divergência dos campos vetoriais abaixo:
w=(1r^2 cos theta) r+(r sen theta cos phi) theta+(cos theta) phi

Passo 1

O enunciado pede a divergência do campo vetorial em coordenadas esféricas
w = l(tfrac1r^2costhetar)r + l(rsinthetacosphir)theta + l(costhetar)phi.
O conteúdo necessário é a fórmula da divergência em coordenadas esféricas.

Passo 2

A fórmula da divergência em coordenadas esféricas para A=Arhat r + Athetahattheta + Aphihatphi é
nablacdotA =1r^2partiall(r^2Arr)partial r +1rsinthetapartiall(Athetasinthetar)partial theta +1rsinthetapartial Aphipartial phi

Passo 3

Identificamos os componentes:
Ar=1r^2costheta, Atheta=rsinthetacosphi, Aphi=costheta
Calculamos o termo radial:
1r^2partiall(r^2Arr)partial r =1r^2partiall(r^2cdot tfrac1r^2costhetar)partial r =1r^2partial(costheta)partial r =0

Passo 4

Calculamos o termo polar (direção theta):
1rsinthetapartiall(Athetasinthetar)partial theta =1rsinthetapartiall(rsinthetacosphicdotsinthetar)partial theta =1rsinthetapartiall(rsin^2thetacosphir)partial theta
Como r e cosphi são constantes em relação a theta,
partial(sin^2theta)partial theta=2sinthetacostheta,
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1rsinthetal(rcdot2sinthetacosthetacosphir) =2rsinthetacosthetacosphirsintheta =2costhetacosphi

Passo 5

Calculamos o termo azimutal (direção phi):
1rsinthetapartial Aphipartial phi =1rsinthetapartial(costheta)partial phi =0,
pois costheta não depende de phi.

Passo 6

Somando os três termos obtemos a divergência:
nablacdotw =0 + 2costhetacosphi + 0 =2costhetacosphi

Resposta

nablacdotw=2costhetacosphi

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