Verifique o teorema do divergente para a função v=r^3 r, usando como volume uma esfera de raio R centrada na origem.

Passo 1

O enunciado pede para verificar o Teorema do Divergente (ou de Gauss) para o campo vec v = r^3,hat r, usando como volume uma esfera de raio R centrada na origem.
Conteúdo: aplicação do Teorema do Divergente
O que vamos precisar:
– Expressão do fluxo de vec v através da superfície esférica de raio R.
– Fórmula da divergência em coordenadas esféricas.
– Elementos de área e volume esféricos.

Passo 2

Calcular o fluxo de vec v pela superfície Scolon r=R.
Na superfície esférica o vetor normal unitário é hat n=hat r e o elemento de área vale
dvec A = R^2sintheta,dtheta,dphi;hat r
Como em S temos r=R, o campo torna-se vec v(R)=R^3,hat r. Logo
vec vcdot dvec A = R^3,hat r;cdot;l(R^2sintheta,dtheta,dphi,hat rr) = R^5sintheta,dtheta,dphi
Integrando em thetain[0,pi] e phiin[0,2pi],
PhiS =integral0^2pi!integral0^piR^5sintheta,dtheta,dphi =R^5,(2),(2pi) =4pi,R^5

Passo 3

Calcular nablacdotvec v em coordenadas esféricas.
Para um campo radial Ar(r),hat r,
nablacdot(Arhat r) =1r^2ddrl(r^2Arr)
Aqui Ar(r)=r^3, então
nablacdotvec v =1r^2ddrl(r^2,r^3r) =1r^2ddrl(r^5r) =5,r^4r^2 =5,r^2

Passo 4

Calcular o integral de volume
integralV(nablacdotvec v),dV =integral0^R!integral0^pi!integral0^2pi5,r^2;l(r^2sintheta,dphi,dtheta,drr)
Isso é
5integral0^Rr^4dr;times;integral0^pisintheta,dtheta;times;integral0^2pidphi =5cdotR^55cdot2cdot2pi =4pi,R^5

Passo 5

Como obtivemos
PhiS=integralSvec vcdot dvec A=4pi R^5 e integralV(nablacdotvec v),dV=4pi R^5,
vemos que o Teorema do Divergente está verificado.

Resposta

O fluxo pela superfície e o integral de volume da divergência coincidem, ambos valem
4pi,R^5

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