Verifique o teorema do divergente para a função
, usando como volume uma esfera de raio
centrada na origem.
Passo 1
O enunciado pede para verificar o Teorema do Divergente (ou de Gauss) para o campo
, usando como volume uma esfera de raio
centrada na origem.
Conteúdo: aplicação do Teorema do Divergente
O que vamos precisar:
– Expressão do fluxo de através da superfície esférica de raio
.
– Fórmula da divergência em coordenadas esféricas.
– Elementos de área e volume esféricos.
Conteúdo: aplicação do Teorema do Divergente
O que vamos precisar:
– Expressão do fluxo de
– Fórmula da divergência em coordenadas esféricas.
– Elementos de área e volume esféricos.
Passo 2
Calcular o fluxo de
pela superfície
.
Na superfície esférica o vetor normal unitário é e o elemento de área vale
Na superfície esférica o vetor normal unitário é
Como em
temos
, o campo torna-se
. Logo
Integrando em
e
,
Passo 3
Calcular
em coordenadas esféricas.
Para um campo radial ,
Para um campo radial
Aqui
, então
Passo 4
Calcular o integral de volume
Isso é
Passo 5
Como obtivemos
vemos que o Teorema do Divergente está verificado.
Resposta
O fluxo pela superfície e o integral de volume da divergência coincidem, ambos valem