Calcule as seguintes integrais indefinidas: integral x raiz1+3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida integral x raiz1+3x , dx. O conteúdo envolvido aqui é cálculo integral, especificamente integração por substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma variável mais simples, facilitando os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz quadrada. Observamos que temos 1 + 3x dentro da raiz. Vamos chamar essa expressão de u:
u = 1 + 3x

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x, ou seja, du/dx, para substituir dx na integral:
dudx = 3 implies du = 3 dx implies dx = du3

Passo 4

Também precisamos expressar x em termos de u. Como u = 1 + 3x, podemos isolar x:
u = 1 + 3x implies 3x = u - 1 implies x = u - 13

Passo 5

Substituímos agora x e dx na integral original:
integral x raiz1+3x , dx = integral (u - 13) raizu (du3) = 19 integral (u - 1) raizu , du

Passo 6

Vamos simplificar a integral:
19 integral (u - 1) u^1/2 , du = 19 integral (u^3/2 - u^1/2) , du

Passo 7

Agora, integramos termo a termo:
19 ( u^5/252 - u^3/232 ) + C = 19 ( 25 u^5/2 - 23 u^3/2 ) + C

Passo 8

Simplificamos os coeficientes:
245 u^5/2 - 227 u^3/2 + C

Passo 9

Substituímos u de volta para 1 + 3x:
245 (1 + 3x)^5/2 - 227 (1 + 3x)^3/2 + C

Resposta

A integral indefinida é:
integral x raiz1+3x , dx = 245 (1 + 3x)^5/2 - 227 (1 + 3x)^3/2 + C

Exercícios relacionados