Encontre o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo das curvas de equações dadas durante o intervalo de tempo especificado em cada um dos casos abaixo:
(a) sigma(t)=(1-t, 2+2 t), 0 <= t <= 1.

Passo 1

Vamos resumir a questão: Precisamos encontrar o comprimento do caminho que uma partícula percorre ao se mover ao longo da curva definida por no intervalo de tempo de até . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente o cálculo de comprimento de arco para curvas parametrizadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que para calcular o comprimento do trajeto de uma curva parametrizada, usamos a fórmula do comprimento de arco. Se a curva é dada por L = integrala^b raiz( dxdt )^2 + ( dydt )^2 , dt no intervalo de até , o comprimento é dado por:

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula à nossa função dxdt = ddt(1 - t) = -1 .
Primeiro, encontramos as derivadas de dydt = ddt(2 + 2t) = 2 e em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
L = integral0^1 raiz(-1)^2 + (2)^2 , dt
Simplificando dentro da raiz:
L = integral0^1 raiz1 + 4 , dt
L = integral0^1 raiz5 , dt

Passo 5

Como L = raiz5 times (1 - 0) é uma constante, a integral fica simples:
L = raiz5

Resposta

O comprimento do caminho percorrido pela partícula é unidades.

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