Encontre o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo das curvas de equações dadas durante o intervalo de tempo especificado em cada um dos casos abaixo:
.
Passo 1
Vamos resumir a questão: Precisamos encontrar o comprimento do caminho que uma partícula percorre ao se mover ao longo da curva definida por
no intervalo de tempo de
até
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente o cálculo de comprimento de arco para curvas parametrizadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que para calcular o comprimento do trajeto de uma curva parametrizada, usamos a fórmula do comprimento de arco. Se a curva é dada por
no intervalo de
até
, o comprimento
é dado por:
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula à nossa função
.
Primeiro, encontramos as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 5
Como
é uma constante, a integral fica simples:
Resposta
O comprimento do caminho percorrido pela partícula é
unidades.