Calcule as seguintes integrais indefinidas:
integral x^2 raizx+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida integral x^2 raizx+1 , dx. Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integração por substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da função que, ao derivar, simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz. Vamos definir:
u = x + 1
Dessa forma, a derivada de $ u $ em relação a $ x $ é:
u

Passo 3

Agora, precisamos expressar $ x $ em termos de $ u $ para substituir na integral. Como $ u = x + 1 $, temos:
x
E elevando $ x $ ao quadrado:
u

Passo 4

Substituindo $ x^{2} $ e $ dx $ na integral original:
x^2
Reescrevendo $ \sqrt{u} $ como $ u^{1/2} $:
dx

Passo 5

Multiplicando os termos dentro da integral:
= integral ( u^2 + 12 - 2u^1 + 12 + u^12 ) du
Simplificando os expoentes:
= integral ( u^52 - 2u^32 + u^12 ) du

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente usando a regra de potência:
integral u^n , du = u^n+1n+1 + C
Aplicando isso a cada termo:
= u^7272 - 2 cdot u^5252 + u^3232 + C

Passo 7

Simplificando as frações:
= 27 u^72 - 45 u^52 + 23 u^32 + C

Passo 8

Por fim, substituímos $ u $ de volta por $ x + 1 $:
u

Resposta

integral x^2 raizx+1 , dx = 27 (x + 1)^72 - 45 (x + 1)^52 + 23 (x + 1)^32 + C

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