Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral indefinida
. Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integração por substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da função que, ao derivar, simplifique a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz. Vamos definir:
Dessa forma, a derivada de $ u $ em relação a $ x $ é:
Passo 3
Agora, precisamos expressar $ x $ em termos de $ u $ para substituir na integral. Como $ u = x + 1 $, temos:
E elevando $ x $ ao quadrado:
Passo 4
Substituindo $ x^{2} $ e $ dx $ na integral original:
Reescrevendo $ \sqrt{u} $ como $ u^{1/2} $:
Passo 5
Multiplicando os termos dentro da integral:
Simplificando os expoentes:
Passo 6
Agora, vamos integrar cada termo separadamente usando a regra de potência:
Aplicando isso a cada termo:
Passo 7
Simplificando as frações:
Passo 8
Por fim, substituímos $ u $ de volta por $ x + 1 $: