Calcule usando substituição trigonométrica:
integral 1raiz-4 x^2+8 x-3 d x

Passo 1

Neste exercício queremos calcular a integral de uma função com raiz quadrada de um polinômio do segundo grau:
integral 1raiz-4x^2+8x-3,dx
O conteúdo principal é a substituição trigonométrica para expressões do tipo raiza^2 - u^2, e vamos precisar primeiro completar o quadrado no polinômio dentro da raiz.

Passo 2

Começamos completando o quadrado em -4x^2+8x-3. Fatoramos -4:
-4x^2+8x-3=-4(x^2-2x)+(-3)= -4l(x^2-2x+1r)+4-3
Observe que x^2-2x+1=(x-1)^2. Logo:
-4x^2+8x-3=-4(x-1)^2+1

Passo 3

Definimos a mudança de variável u=x-1. Então du=dx e a integral vira
integral 1raiz1-4u^2,du
Agora temos a forma padrão raiza^2 - u^2 com a=1.

Passo 4

Aplicamos a substituição trigonométrica adequada:
u=12sintheta, du=12costheta,dtheta
Nesse caso (1-4u2=1-4\bigl(\tfrac12\sin\theta\bigr)2=1-\sin2\theta=\cos2\theta.]

Passo 5

Substituindo na integral:
integral 1raizcos^2thetacdot12costheta,dtheta = integral 12,dtheta = theta2+C

Passo 6

Por fim voltamos à variável original. Da substituição u=tfrac12sintheta vem theta=arcsin(2u). Como u=x-1, temos theta=arcsinl(2(x-1)r). Então:
integral 1raiz-4x^2+8x-3,dx = 12arcsinl(2(x-1)r)+C

Resposta

tfrac12arcsinl(2(x-1)r)+C

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