Calcule usando frações parciais:
integral x^5+4 x^3(x^2+3)^3 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral x^5+4x^3(x^2+3)^3,dx usando frações parciais. O conteúdo envolvido é integração de função racional, e vamos precisar de dois ingredientes principais:
  1. A substituição u = x^2, que simplifica o grau no numerador junto com o diferencial.
  2. A decomposição em frações parciais para integrar cada termo resultante.

Passo 2

Primeiro, fazemos a mudança de variável u = x^2. Então du = 2x,dx, ou seja, x,dx = tfrac12,du. Note que a parte no numerador pode ser escrita como:
x^5+4x^3=x^3(x^2+4)=x,(x^2)(x^2+4)=x,u,(u+4)
Substituindo na integral original temos
integral x^5+4x^3(x^2+3)^3,dx=integral u,(u+4),x(u+3)^3,dx=tfrac12integral u(u+4)(u+3)^3,du

Passo 3

Agora vamos decompor a fração u(u+4)(u+3)^3 em frações parciais. Como o grau do numerador é 2 e do denominador é 3, podemos escrever:
u(u+4)(u+3)^3=Au+3+B(u+3)^2+C(u+3)^3
Multiplicando ambos os lados por (u+3)^3
u^2+4u=A(u+3)^2+B(u+3)+C
Expandindo e igualando coeficientes para u^2, u e termo constante, obtemos:
  • Coeficiente de u^2: A=1.
  • Coeficiente de u: 6A+B=4 B=-2.
  • Constante: 9A+3B+C=0 C=-3.

Passo 4

Com os valores de A,B,C achados, a integral em u fica:
tfrac12integrall(1u+3-2(u+3)^2-3(u+3)^3r)du
Agora integramos termo a termo usando integral(u+3)^-ndu=(u+3)^-n+1/(-n+1) para nneq1 e integral1/(u+3),du=ln|u+3|:
  • integral1u+3du=ln|u+3|.
  • integral-2(u+3)^2du=-2cdot(u+3)^-1-1=2u+3.
  • integral-3(u+3)^3du=-3cdot(u+3)^-2-2=32,1(u+3)^2.
    Multiplicando tudo por tfrac12 resulta em:
tfrac12ln|u+3|+1u+3+34,1(u+3)^2+C

Passo 5

Finalmente, voltamos à variável x usando u=x^2. Como u+3=x^2+3, a antiderivada é:
12ln(x^2+3)+1x^2+3+341(x^2+3)^2+C

Resposta

12ln(x^2+3)+1x^2+3+34(x^2+3)^2+C

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