Calcule usando frações parciais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
usando frações parciais. O conteúdo envolvido é integração de função racional, e vamos precisar de dois ingredientes principais:
- A substituição
, que simplifica o grau no numerador junto com o diferencial. - A decomposição em frações parciais para integrar cada termo resultante.
Passo 2
Primeiro, fazemos a mudança de variável
. Então
, ou seja,
. Note que a parte no numerador pode ser escrita como:
Substituindo na integral original temos
Passo 3
Agora vamos decompor a fração
em frações parciais. Como o grau do numerador é 2 e do denominador é 3, podemos escrever:
Multiplicando ambos os lados por
dá
Expandindo e igualando coeficientes para
,
e termo constante, obtemos:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: ⇒ . - Constante:
⇒ .
Passo 4
Com os valores de
achados, a integral em
fica:
Agora integramos termo a termo usando
para
e
:
-
. -
. -
.
Multiplicando tudo porresulta em:
Passo 5
Finalmente, voltamos à variável
usando
. Como
, a antiderivada é: