Calcule as seguintes integrais indefinidas.
integral x sec ^2(x^2) tg^4(x^2) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral x,sec^2l(x^2r),tan^4l(x^2r),dx
O conteúdo principal aqui é o método de substituição (u-substituição), aproveitando que o argumento das funções trigonométricas é x^2 e aparece também um fator x fora.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = tanl(x^2r)
Derivando em relação a x, temos
du = ddxl[tan(x^2)r],dx = sec^2l(x^2r)cdot 2x,dx,
ou seja
x,sec^2l(x^2r),dx = tfrac12,du

Passo 3

Substituindo na integral original, note que tan^4(x^2)=u^4 e x,sec^2(x^2),dx=tfrac12du. Logo,
integral x,sec^2(x^2),tan^4(x^2),dx = integral u^4,l(tfrac12,dur) = tfrac12integral u^4,du

Passo 4

Agora integramos em u:
tfrac12integral u^4,du = tfrac12;u^55 + C = u^510 + C

Passo 5

Voltando à variável x, temos u=tan(x^2). Assim, a primitiva é
tan^5l(x^2r)10 + C

Resposta

tan^5l(x^2r)10 + C

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