Uma partícula de 4 kg está se movendo ao longo do eixo x sob a ação de uma força F=-(pi^216) x, dada em Newtons. Quando t=2 s, a partícula passa pela origem, e quando t=4 s ela tem velocidade de 4 m s^-1. Encontre a expressão da posição x(t) da partícula e a amplitude xm do movimento.

Passo 1

O enunciado descreve uma partícula de massa m=4 kg sujeita a uma força restauradora
F = -l(pi^216r),x
ao longo do eixo x. Sabemos que em t=2 s temos x(2)=0 e em t=4 s a velocidade é v(4)=4 m/s. O conteúdo é o de movimento harmônico simples (MHS). Vamos achar a expressão geral de x(t), usar as condições iniciais para determinar as constantes e, por fim, obter a amplitude xm.

Passo 2

O MHS satisfaz
m,x'' + k,x = 0,
com k=dfracpi^216. Logo
omega^2 = km = pi^2/164 = pi^264,
ou seja
omega = pi8
A solução geral é
x(t) = Acos!l(tfracpi8tr) + Bsin!l(tfracpi8tr)

Passo 3

Impondo x(2)=0 temos
0 = Acos!l(tfracpi8cdot2r) + Bsin!l(tfracpi8cdot2r) = Acos!l(tfracpi4r) + Bsin!l(tfracpi4r) = raiz22(A + B)
Logo
A + B = 0 Longrightarrow B = -A

Passo 4

A velocidade é
v(t) = x'(t) = -A,omegasin!l(tfracpi8tr) + B,omegacos!l(tfracpi8tr)
Em t=4
v(4) = -Aomegasin!l(tfracpi2r) + Bomegacos!l(tfracpi2r) = -Aomegacdot1 + Bomegacdot0 = -A,pi8
Como v(4)=4, segue
- A,pi8 = 4 Longrightarrow A = -32pi

Passo 5

Então B = -A = tfrac32pi. Substituindo em x(t) temos
x(t) = -32picos!l(tfracpi8tr) +32pisin!l(tfracpi8tr)

Passo 6

A amplitude xm é
xm = raizA^2 + B^2 = raizl(-tfrac32pir)^2 + l(tfrac32pir)^2 = 32piraiz2 = 32raiz2pi

Resposta

x(t) = -32picos!l(tfracpi8tr) +32pisin!l(tfracpi8tr), xm = 32raiz2pi

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