Calcule as seguintes integrais indefinidas: integral (3 x+1)^4 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral (3x+1)^4,dx. O conteúdo aqui é integração por substituição (também chamada de mudança de variável) e a regra de potência para integrais.

Passo 2

Vamos usar a substituição u = 3x+1. Dessa forma, derivando ambos os lados, temos du = 3,dx, ou seja, dx = du3. Substituímos na integral original.

Passo 3

Reescrevendo a integral em função de u:
integral (3x+1)^4,dx = integral u^4 cdot du3 = 13 integral u^4,du
Aqui aplicamos a regra de potência: integral u^n,du = tfracu^n+1n+1 + C.

Passo 4

Integrando em u e voltando para x:
13 integral u^4,du = 13 cdot u^55 + C = u^515 + C
Como u = 3x+1, a solução final é tfrac(3x+1)^515 + C.

Resposta

(3x+1)^515 + C

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