Vamos resolver a integral definida . Este exercício está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente envolvendo funções polinomiais e raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar usar substituição e técnicas de integração que nos ajudarão a simplificar a expressão dentro da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a parte da integral que pode ser simplificada. Notamos que temos , que é uma raiz quadrada de uma função quadrática. Para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição. Vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir na integral. Derivando ambos os lados em relação a :
Passo 4
Substituímos e na integral original:
Aqui, calculamos os novos limites de integração:
Quando :
Quando :
Então, a integral se torna:
Passo 5
Ainda temos na expressão, que podemos relacionar com . Como , podemos resolver para :
Substituindo na integral:
Passo 6
Distribuímos o dentro da integral:
Simplificando:
Passo 7
Calculamos cada uma das integrais separadamente.
Primeira integral:
Segunda integral:
Passo 8
Substituímos as integrais de volta na expressão:
Passo 9
Aplicamos os limites de integração:
Para 6 (9^3/2 - 8^3/2) = 6 (27 - 22.6274) = 6 times 4.3726 = 26.2356 :