integral0^1 x^3 raiz9-x^2 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral definida . Este exercício está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente envolvendo funções polinomiais e raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar usar substituição e técnicas de integração que nos ajudarão a simplificar a expressão dentro da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a parte da integral que pode ser simplificada. Notamos que temos u = 9 - x^2 , que é uma raiz quadrada de uma função quadrática. Para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição. Vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = -2x Rightarrow du = -2x , dx Rightarrow dx = -du2x em relação a para substituir na integral. Derivando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Substituímos integral0^1 x^3 raiz9 - x^2 , dx = integralu(1)^u(0) x^3 raizu (-du2x) e -12 integral8^9 x^2 raizu , du na integral original:
Aqui, calculamos os novos limites de integração:
  • Quando :
  • Quando :
Então, a integral se torna:

Passo 5

Ainda temos x^2 = 9 - u na expressão, que podemos relacionar com -12 integral8^9 (9 - u) raizu , du . Como , podemos resolver para :
Substituindo na integral:

Passo 6

Distribuímos o -12 ( integral8^9 9raizu , du - integral8^9 u raizu , du ) dentro da integral:
-12 ( 9 integral8^9 u^1/2 , du - integral8^9 u^3/2 , du )
Simplificando:

Passo 7

Calculamos cada uma das integrais separadamente.
Primeira integral:
integral u^1/2 , du = 23 u^3/2
Segunda integral:
integral u^3/2 , du = 25 u^5/2

Passo 8

Substituímos as integrais de volta na expressão:
-12 ( 9 cdot 23 u^3/2 |8^9 - 25 u^5/2 |8^9 ) = -12 ( 6 u^3/2 |8^9 - 25 u^5/2 |8^9 )

Passo 9

Aplicamos os limites de integração:
Para 6 (9^3/2 - 8^3/2) = 6 (27 - 22.6274) = 6 times 4.3726 = 26.2356 :
25 (9^5/2 - 8^5/2) = 25 (243 - 181.0193) = 25 times 61.9807 = 24.7923
Para :

Passo 10

Substituímos os valores calculados:
-12 (26.2356 - 24.7923) = -12 times 1.4433 = -0.72165

Resposta

O valor da integral é aproximadamente .

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