Calcule os seguintes limites:
\lim _{N \rightarrow \infty} \pi \sum_{i=0}^{N} \frac{\sin \left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi i}{4 N}\right)}{4 N}

Passo 1

O enunciado pede o valor do seguinte limite quando N\to\infty:
\lim_{N\to\infty} \pi \sum_{i=0}^{N} \frac{\sin\!\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi i}{4 N}\right)}{4 N}.
Informações relevantes dadas:
\text{para cada } i\in\{0,1,\dots,N\}\quad\text{o termo somado é}\quad \sin\!\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi i}{4 N}\right),é
e o fator multiplicativo comum fora da soma é \dfrac{\pi}{4N} (pois \pi\cdot\frac{1}{4N}=\frac{\pi}{4N}). O somatório vai de i=0 até i=N, então o ângulo varia de \frac{\pi}{2} (quando i=0) até \frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4} (quando i=N), isto é, até \frac{3\pi}{4}.

Passo 2

Vamos reescrever a soma de forma que fique clara a interpretação como soma de Riemann. Defina
\theta_i=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi i}{4N}\quad\text{para }i=0,1,\dots,N.
Então a diferença entre dois pontos consecutivos é
\Delta\theta=\theta_{i+1}-\theta_i=\frac{\pi}{4N}.
Com isso a expressão original pode ser escrita como
\pi \sum_{i=0}^{N} \frac{\sin\!\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi i}{4 N}\right)}{4 N} = \sum_{i=0}^{N} \sin(\theta_i)\,\Delta\theta.
Aqui usamos que \pi\cdot\frac{1}{4N}=\Delta\theta.

Passo 3

Explicação didática do que é uma soma de Riemann (passo teórico):
  • Uma soma de Riemann para uma função contínua f em um intervalo [a,b] tem a forma \sum f(x_i)\Delta x, onde os x_i estão em uma partição de [a,b] e \Delta x é o tamanho de cada subintervalo.
  • Quando a função f é contínua, à medida que o número de subintervalos cresce e \Delta x\to0, a soma de Riemann converge para a integral definida \int_a^b f(x)\,dx.
    No nosso caso a função é f(\theta)=\sin\theta, que é contínua em todo \mathbb{R}, e a partição vai de a=\frac{\pi}{2} até b=\frac{3\pi}{4}. Portanto a soma \sum_{i=0}^N \sin(\theta_i)\Delta\theta converge, quando N\to\infty, para a integral
\int_{a}^{b}\sin\theta\,d\theta = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{4}}\sin\theta\,d\theta.

Passo 4

Aplicando o resultado do passo anterior, temos
\lim_{N\to\infty}\sum_{i=0}^{N}\sin(\theta_i)\Delta\theta =\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{4}}\sin\theta\,d\theta.
Ou seja, o limite pedido é igual à integral acima.

Passo 5

Agora calculamos a integral passo a passo. A primitiva de \sin\theta é -\cos\theta, porque a derivada de -\cos\theta é \sin\theta. Logo
\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{4}}\sin\theta\,d\theta = \big[-\cos\theta\big]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{4}} = -\cos\!\left(\frac{3\pi}{4}\right)-\big(-\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)\big).

Passo 6

Avaliação dos cossenos:
\cos\!\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0.
Substituindo em \big[-\cos\theta\big]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{4}} obtemos
-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-\big(-0\big)=\frac{\sqrt{2}}{2}.

Resposta

\dfrac{\sqrt{2}}{2}

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