Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede o valor do seguinte limite quando
:
Informações relevantes dadas:
e o fator multiplicativo comum fora da soma é
(pois
). O somatório vai de
até
, então o ângulo varia de
(quando
) até
(quando
), isto é, até
.
Passo 2
Vamos reescrever a soma de forma que fique clara a interpretação como soma de Riemann. Defina
Então a diferença entre dois pontos consecutivos é
Com isso a expressão original pode ser escrita como
Aqui usamos que
.
Passo 3
Explicação didática do que é uma soma de Riemann (passo teórico):
- Uma soma de Riemann para uma função contínua
em um intervalo tem a forma , onde os estão em uma partição de e é o tamanho de cada subintervalo. - Quando a função
é contínua, à medida que o número de subintervalos cresce e , a soma de Riemann converge para a integral definida .
No nosso caso a função é, que é contínua em todo , e a partição vai de até . Portanto a soma converge, quando , para a integral
Passo 4
Aplicando o resultado do passo anterior, temos
Ou seja, o limite pedido é igual à integral acima.
Passo 5
Agora calculamos a integral passo a passo. A primitiva de
é
, porque a derivada de
é
. Logo
Passo 6
Avaliação dos cossenos:
Substituindo em
obtemos