Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Lembrete: Não se esqueça de adicionar uma constante de integração no final.
(q) \int 3 \sqrt{x}-2 \sqrt[3]{x} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \bigl(3\sqrt{x} \;-\; 2\sqrt[3]{x}\bigr)\,dx.
Aqui vamos usar a regra da potência para integrais: se \displaystyle f(x)=x^n, então
\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,\quad n\neq -1.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos as raízes como potências:
\sqrt{x} = x^{\tfrac12}, \qquad \sqrt[3]{x} = x^{\tfrac13}.
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\int \bigl(3\sqrt{x} - 2\sqrt[3]{x}\bigr)\,dx = 3\int x^{\tfrac12}\,dx \;-\; 2\int x^{\tfrac13}\,dx.

Passo 3

Calculando a primeira integral:
\int x^{\tfrac12}\,dx = \frac{x^{\tfrac12 + 1}}{\tfrac12 + 1} = \frac{x^{\tfrac32}}{\tfrac32} = \frac{2}{3}\,x^{\tfrac32}.
Multiplicando por 3
3\int x^{\tfrac12}\,dx = 3\cdot\frac{2}{3}\,x^{\tfrac32} = 2\,x^{\tfrac32}.

Passo 4

Calculando a segunda integral:
\int x^{\tfrac13}\,dx = \frac{x^{\tfrac13 + 1}}{\tfrac13 + 1} = \frac{x^{\tfrac43}}{\tfrac43} = \frac{3}{4}\,x^{\tfrac43}.
Multiplicando por -2
-2\int x^{\tfrac13}\,dx = -2\cdot\frac{3}{4}\,x^{\tfrac43} = -\frac{3}{2}\,x^{\tfrac43}.

Passo 5

Somando os dois resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos
\int \bigl(3\sqrt{x} - 2\sqrt[3]{x}\bigr)\,dx = 2\,x^{\tfrac32} \;-\; \frac{3}{2}\,x^{\tfrac43} + C.

Resposta

2\,x^{\tfrac32} \;-\; \frac{3}{2}\,x^{\tfrac43} + C.

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