Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Lembrete: Não se esqueça de adicionar uma constante de integração no final.
® \int x(2-x)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x\,(2 - x)^{2}\,dx
Esse tipo de integral pode ser resolvido por substituição simples, transformando o fator (2 - x) em uma nova variável para facilitar a integração.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 2 - x.
Então
du = -\,dx \quad\text{e}\quad x = 2 - u.
Logo, dx = -\,du e a integral fica
\int x\,(2 - x)^{2}\,dx = \int (2 - u)\,u^{2}\,(-\,du) = -\int (2u^{2} - u^{3})\,du.

Passo 3

Agora distribuímos e integramos termo a termo:
- \int (2u^{2} - u^{3})\,du = -\Bigl(2\int u^{2}\,du - \int u^{3}\,du\Bigr).
Calculando cada parte,
\int u^{2}\,du = \frac{u^{3}}{3}, \quad \int u^{3}\,du = \frac{u^{4}}{4},
então
- \Bigl(2\cdot\frac{u^{3}}{3} - \frac{u^{4}}{4}\Bigr) = -\frac{2u^{3}}{3} + \frac{u^{4}}{4} + C.

Passo 4

Volta à variável x usando u = 2 - x:
-\frac{2(2 - x)^{3}}{3} + \frac{(2 - x)^{4}}{4} + C.
Podemos também expandir e agrupar em potência de x. O resultado simplificado é
\frac{x^{4}}{4} - \frac{4x^{3}}{3} + 2x^{2} + C'.
Aqui C' é uma constante de integração (absorvendo constantes).

Resposta

\int x\,(2 - x)^{2}\,dx = \frac{x^{4}}{4} - \frac{4x^{3}}{3} + 2x^{2} + C.

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